Mathematik für Faule: Differentialrechnung/Die Poisson-Gleichung

Satz (Lösung der Poisson-Gleichung durch Faltung):

Es sei

$G(x):={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\ln(\|x\|)&d=2\\{\frac {1}{d(d-2)\lambda _{d}(B_{1}(0))\|x\|^{d-2}}}&d>2.\end{cases}}$

Ferner sei $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$. Dann ist $u:=f*G$ eine Lösung der Gleichung

$\Delta u=f$.

Beweis: Zunächst bestätigen wir mithilfe der Integrationsformel für sphärische Koordinaten, dass $G$ lokal integrierbar ist. Dann berechnen wir die ersten direktionalen Ableitungen jenseits von der $0$: Für $d=2$ erhalten wir

$\partial _{j}G(x)=\partial _{j}\left(-{\frac {1}{4\pi }}\ln(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\right)=-{\frac {x_{j}}{2\pi \|x\|^{2}}}$,

und für $d>2$ erhalten wir

$\partial _{j}G(x)=-{\frac {x_{j}}{d\lambda _{d}(B_{1}(0))\|x\|^{d}}}$

Zusammengenommen gilt somit tatsächlich für alle $d\geq 2$

$\partial _{j}G(x)=-{\frac {x_{j}}{d\lambda _{d}(B_{1}(0))\|x\|^{d}}}=-{\frac {x_{j}}{A(\partial B_{1}(0))\|x\|^{d}}}$,

wobei $A$ für die Oberfläche steht. Aus diesem Grunde ist für alle $d\geq 2$ und $x\neq 0$

$\Delta G(x)={\frac {1}{A(\partial B_{1}(0))}}\left(\sum _{j=1}^{d}-{\frac {1}{\|x\|^{d}}}+{\frac {dx_{j}^{2}}{\|x\|^{d+2}}}\right)=0$.

Wir kennen also nun $\nabla G$; dies (und demnach alle seine Komponenten) ist lokal integrierbar, denn $\|\nabla G(x)\|\leq {\frac {1}{\|x\|^{d-1}}}$, und auf letzteres können wir die Integrationsformel für sphärische Koordinaten anwenden. Damit (und wegen der Limestreue von $f$) gilt

$f(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\partial B_{\epsilon }(x)}\langle n(y),\nabla _{y}G(x-y)\rangle f(y)dy$.

Mit dem Satz von Gauß folgt

$f(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\|x-y\|\geq \epsilon }\nabla _{y}\cdot (\nabla _{x}G(x-y)f(y))dy=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\nabla _{x}G(x-y)\cdot \nabla _{y}f(y)dy$ wegen der lokalen Integrierbarkeit von $\nabla G$;

ein Summand des letzteren Integrals ist (unter Anwendung der Kommutativität der Faltung) gerade

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{x_{j}}G(x-y)\partial _{y_{j}}f(y)dy{\overset {\text{Leibniz}}{=}}{\frac {d}{dx_{j}}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}G(y)\partial _{x_{j}}f(x-y)dy{\overset {\text{Leibniz}}{=}}{\frac {d}{dx_{j}}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}G(y)f(x-y)dy$,

was zu beweisen war. $\Box$

Satz (Hilbert):

Es sei $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ randlos, sodass die Einschränkung $C^{\infty }({\overline {\Omega }})\ni u\mapsto u|_{\partial \Omega }\in L^{2}(\partial \Omega )$ limestreu ist. Es sei $g\in L^{2}(\partial \Omega )$ sodass es ein $G\in H^{1}(\Omega )$ mit $G|_{\partial \Omega }=g$ gibt. Des weiteren sei $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$.

Dann existiert eine eindeutige schwache Lösung zu $\Delta u=f$ und $u|_{\partial \Omega }=g$, und innerhalb von $\Omega$ ist sie beliebig differenzierbar.

Beweis: Dem Satz von Lax–Milgram (oder, je nach Präferenz, dem Satz von Nečas) zufolge existiert eine Lösung $u$ des zugehörigen bilinearen Problems. Es sei $x\in \Omega$ und $B_{r}(x)\subseteq \Omega$. Dem Randabhängigensatz zufolge ist $h:=u|_{\partial B_{r}(x)}$ in $L^{2}(\partial B_{r}(x))$. Es sei $(h_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge limestreuer Abhängiger, die in $L^{2}(\partial B_{r}(x))$ nach $h$ konvergiert. Für jedes $n$ ist gemäß der Poisson-Integralformel die Lösung des Randwertproblems $\Delta u_{n}=f$ und $u_{n}|_{\partial B_{r}(x)}$ gegeben durch

$u_{n}(y):=f*G(y)+\int _{S_{n-1}}h_{n}(r(\xi -y))P(x,\xi )A(d\xi )$.

Nach der Cauchy–Schwarz-Abschätzung konvergieren die $u_{n}$ lokal uniform, und der Limes ist daher selbst Laplace. Somit ist er die eindeutige schwache Lösung des Randwertproblems auf ${\overline {B_{r}(x)}}$ und damit auf ${\overline {B_{r}(x)}}$ identisch mit $u$. Aber die explizite Darstellungsformel des Limes, die sich aus Übergang der Formel für $u_{n}$ zum Limes ergibt, beweist zusammen mit der Leibniz-Regel, dass er beliebig oft differenzierbar ist. $\Box$