Mathematik für Faule: Differentialrechnung/ Abhängigkeit der Lösung von Startwerten und Parametern

Satz (Die Lösung einer univariaten Differenzialgleichung hängt limestreu vom Startwert ab):

Es sei $x^{\prime }(t)=f(x(t),t)$ eine Differenzialgleichung, die für alle Startwerte $x_0$ in einer randlosen Menge $U$ wobei $f$ eine eindeutige Lösung aufweist; hierbei sei $f$ außerdem limestreu. Dann hängt die Lösung $x(t,x_0)$ der Gleichung mit $x_0$ als Startwert limestreu von $x_0$ ab.

Beweis: Wir verwenden folgende Notation: $x_0$ sei der Startwert der Lösung $x$, und für $ϵ\in {ℝ}^n$ sei $x_{ϵ}(t)$ die Lösung mit Startwert $x_0+ϵ$.

Sei nun $t$ fest. Angenommen, $x_{ϵ}(t)\to ̸x(t)$ für $\Vert ϵ\Vert \to 0$. Dann gibt es eine Nullfolge $({ϵ}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, sodass $\Vert x_{{ϵ}_n}(t)-x(t)\Vert >C$ für ein festes $C>0$.

Falls nun $t$ und $ϵ$ hinreichend klein sind (insb. auch für $ϵ=0$), so gilt, da $f$ wegen des Satzes von Weierstraß auf ü-endlichen Mengen beschränkt ist, dass

$\Vert x_{ϵ}(t)\Vert \le {\int }_0^t\Vert f(x_{ϵ}(t),t)\Vert dt\le tM$

für ein bestimmtes $M>0$; in der Tat, finde zunächst eine obere Schranke $D>0$ von $f$ auf einer Umgebung von $x_0$ und wähle dann $t,ϵ$ hinreichend klein, sodass die Lösung wegen der Integralgleichung die gegebene Schranke nicht überschreiten kann. Ebenso kann natürlich $f(x_{ϵ}(t),t)$, die Ableitung von $x_{ϵ}$, beschränkt werden. Wirft man also zu große ${ϵ}_n$ weg, so ist der Satz von Arzèla–Ascoli anwendbar, und die konvergente Teilfolge konvergiert (wie man leicht prüft) zu einer Lösung der Differenzialgleichung mit Startwert $x_0$, die wegen $\Vert x_{{ϵ}_n}(t)-x(t)\Vert >C$ für alle $n\in \mathbb{N}$ aber nicht mit der Lösung $x$ identisch sein kann. Dies ist ein Widerspruch zur Eindeutigkeit.

Der allgemeine Satz folgt nun wie folgt: Wir überdecken das Intervall $[0,t]$ mit randlosen Mengen, innerhalb derer die gewünschte Abhängigkeit besteht. Da $[0,t]$ ü-endlich ist, und da die Verkettung limestreuer Zuordnungen limestreu ist, folgt die Behauptung. $◻$

Satz (Die Lösung einer univariaten Differenzialgleichung hängt ggf. differenzierbar von Startwerten ab):

Es sei ${x_{\mu }}^{\prime }(t)=f(t,x_{\mu }(t))$ eine Differenzialgleichung zu lösen für die Abhängige $x_{\mu }$, die mit $x_{\mu }(0)=\mu$ zu einem Anfangswertproblem wird. Des weiteren sei $f$ limestreu steigend. Dann ist die Lösung limestreu steigend abhängig vom Startwert $\mu$.

Beweis: Durch Zeitautonomisierung nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $f$ nicht von $t$ abhängt. Des weiteren können wir durch Nichtbeachtung aller anderen Koordinaten von der Lösung $x_{\mu }$ annehmen, dass $x_{\mu }$ eindimensional ist, und außerdem können wir durch Betrachtung der Richtungssteigungen in $\mu$ annehmen, dass auch $\mu$ eindimensional ist.

Nun gilt für den entsprechenden Differenzienquotienten

$\frac{x_{\mu +h}(t)-x_{\mu }(t)}{h}={\int }_0^t\frac{f(x_{\mu +h}(s))-f(x_{\mu }(s))}{x_{\mu +h}(s)-x_{\mu }(s)}\frac{x_{\mu +h}(s)-x_{\mu }(s)}{h}ds$;

der Satz von Picard–Lindelöf impliziert ja schließlich, dass $x_{\mu +h}(s)=x_{\mu }(s)$ für $h\ne 0$ nicht sein kann. Aus dieser Gleichung ersehen wir, dass der Differenzenquotient

$y_{\mu ,h}(t):=\frac{x_{\mu +h}(t)-x_{\mu }(t)}{h}$

für $h\to 0$ näherungsweise die Integralgleichung

$y_{\mu }(t)={\int }_0^t{f}^{\prime }(x_{\mu }(s))y_{\mu }(s)ds$ mit Startwert $y_{\mu }(0)=1$

erfüllt, welche nach dem Hauptsatz auch als Steigungsgleichung geschrieben werden kann, die nach dem Satz von Picard–Lindelöf eine eindeutige Lösung besitzt. Allerdings gilt

$\begin{array}{cc}\Vert y_{\mu ,h}-y_{\mu }{\Vert }_{[0,T]}& \le {\int }_0^T({ϵ}_h(t)\Vert y_{\mu }(t)\Vert +\Vert \frac{f(x_{\mu +h}(s))-f(x_{\mu }(s))}{x_{\mu +h}(s)-x_{\mu }(s)}\Vert \Vert y_{\mu }(t)-y_{\mu ,h}(t){\Vert }_{[0,T]})dt\\ \Rightarrow (1-MT)\Vert y_{\mu ,h}-y_{\mu }{\Vert }_{[0,T]}& \le {\int }_0^T{ϵ}_h(t)\Vert y_{\mu }(t)\Vert dt\end{array}$

wobei

${ϵ}_h(t):=\Vert \frac{f(x_{\mu +h}(t))-f(x_{\mu }(t))}{x_{\mu +h}(t)-x_{\mu }(t)}-f^{\prime }(x_{\mu }(t))\Vert$;

die gewünschte Schranke $M>0$ sowie die Beschränktheit von ${ϵ}_h(t)$ folgen beide aus dem Mittelwertsatz. Daher impliziert der Satz von der dominierten Konvergenz die gewünschte Differenzierbarkeit. $◻$

Satz (Satz von Liouville über unabhängige Ströme):

Es sei ${\varphi }_t(x)$ die Zuordnung für die unabhängigen Ströme bezüglich einer zeitunabhängigen Differenzialgleichung, deren limestreue rechte Seite mit $F$ bezeichnet sein möge. Dann ist ${\varphi }_t$ überall, wo es definiert ist, maßerhaltend genau dann, wenn $F$ divergenzfrei ist.

Beweis: Es sei $J_{{\varphi }_t}$ die Jacobi-Tabelle von ${\varphi }_t$. Die Bedingung, dass ${\varphi }_t$ maßerhaltend ist, ist gleichbedeutend mit $|det{J}_{{\varphi }_t}(x)|=1$. Für $t=0$ stimmt diese Gleichung, denn dort ist ${\varphi }_t$ die Identität. Des weiteren ist diese Bedingung wegen der Limestreue äquivalent zu $\frac{d}{dt}det{J}_{{\varphi }_t}(x)=0$. Aber der Jacobi-Formel (unter Verwendung der Tatsache, dass ${\varphi }_t$ invertierbar ist) gemäß gilt

$\frac{d}{dt}det{J}_{{\varphi }_t}(x)=det(J_{{\varphi }_t}(x))\mathrm{tr}(J_{{\varphi }_t}(x{)}^{-1}\frac{d}{dt}{J}_{{\varphi }_t}(x))$;

die Kettenregel zeigt jedoch, dass

$\frac{d}{dt}{J}_{{\varphi }_t}(x)=J_F({\varphi }_t(x))J_{{\varphi }_t}(x)$,

und die Spur ist invariant unter Redugenwechsel. Aber die Spur ist dann gerade die Divergenz von $F$ am gegebenen Punkt. $◻$