Existenz und Eindeutigkeit univariater Differentialgleichungen

Satz (Peano):

Es sei eine Differentialgleichung $y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$ gegeben, mit Startbedingung $y(t_0)=x_0$; hierbei sei $f$ definiert auf einer randlosen Teilmenge $U$ von $ℝ\times {ℝ}^n$. Ist $f$ limestreu, so gibt es ein Intervall $I\ni t_0$, sodass die Differentialgleichung auf $I$ eine Lösung besitzt.

Beweis: Durch Zeitautonomisierung nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $f$ nicht von $t$ abhängt. Nun liefert das Eulerverfahren mit Schrittweite $h>0$ angewandt auf die gegebene Steigungsgleichung eine Näherungslösung $y_h$, die gegeben ist durch

$y_h((n+1)h)=y_h(nh)+hf(y_h(nh))$

bzw. die lineare Interpolation zwischen den Gitterpunkten. Durch Iterationsdeduktion folgt, dass $y_h$ von $h$ unabhängig auf ü-endlichen Mengen beschränkt ist, und nach Definition und Limestreue von $f$ gilt dies auch für die Steigung von $y_h$. Daher ist der Satz von Arzelà–Ascoli anwendbar und wir erhalten eine Nullfolge $h_k\to 0$, sodass $y_{h_k}$ mit $k\to \mathrm{\infty }$ gegen eine Abhängige $y$ konvergiert, von der wir nun zeigen werden, dass sie die gewünschte Gleichung löst.

Durch Iterationsdeduktion sehen wir, dass $y_h$ eine Integralgleichung der Form

$y_h(t)=y_0+{\int }_0^t\sum _{n=0}^{k_t}f(y_h(nh)){\mathrm{𝟏}}_{[nh,(n+1)h)}(s)ds$

erfüllt. Nun sei $t\in [0,T]$, wobei $T>0$ klein genug ist, sodass $y_h$ für beliebig kleine $h$ noch existiert (d. h. die Definitionsmenge von $f$ nicht verlässt). Des weiteren sei $k\in \mathbb{N}$ und $n$ so gewählt, dass $t\in [n{h}_k,(n+1)h)$. Dann gilt

$\Vert f(y_{h_k}(n{h}_k))-f(y(t))\Vert \le \Vert f(y_{h_k}(n{h}_k))-f(y(n{h}_k)\Vert +\Vert f(y(n{h}_k)-f(y(t))\Vert \to 0,k\to \mathrm{\infty }$

wegen Heine–Cantor angewandt auf $f$, und der Satz von der dominierten Konvergenz beweist, dass $y$ die gewünschte Integral- und somit die gewünschte Steigungsgleichung erfüllt. $◻$

Satz (Picard–Lindelöf):

Es sei wieder eine Differentialgleichung $y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$ gegeben, mit Startbedingung $y(t_0)=x_0$; hierbei sei $f$ limestreu und definiert auf einer randlosen Teilmenge $U$ von $ℝ\times {ℝ}^n$. Falls $f$ lokal um einen Punkt $(t_0,x_0)$ herum eine Lipschitz-Konstante in der zweiten Variablen besitzt, so gibt es ein kleines Intervall $I\ni t_0$, sodass die Differentialgleichung auf $I$ eine eindeutige Lösung besitzt. Hat $f$ in jedem Punkt solche Lipschitz-Konstanten in der zweiten Variablen, so ist die Lösung global eindeutig.

Beweis: Die Existenz folgt aus dem vorhergehenden Satz von Peano. Seien nun $x,y$ zwei Lösungen der Differentialgleichung, und sei $L$ eine Lipschitz-Konstante um $(t_0,x_0)$. Wenn $t_1$ hinreichend klein ist, kann eine Lösung wegen der von der Limestreue von $f$ implizierten lokalen Beschränktheit den Bereich der Gültigkeit der Lipschitz-Bedingung bis zum Zeitpunkt $t_1$ nicht verlassen. Dann gilt für $t\le t_1$ wegen der Limestreue von $x$ und $y$

$\Vert x(t)-y(t)\Vert =\Vert {\int }_{t_0}^{t}f(t,x(t))-f(t,y(t))dt\Vert \le (t_1-t_0)L\Vert x-y{\Vert }_{[t_0,t_1]}$,

woraus folgt

$\Vert x-y{\Vert }_{[t_0,t_1]}\le (t_1-t_0)L\Vert x-y{\Vert }_{[t_0,t_1]}$.

Wenn $t_1$ nahe genug an $t_0$ ist, ist $(t_1-t_0)L<1$, und es folgt $x(t)=y(t)$ für $t_0\le t\le t_1$. Ähnlich argumentiert man ggf. auch für $t_1<t_0$.

Dies beweist die lokale Aussage. Für die globale Aussage seien nun Lösungen $x,y$ gegeben, die maximal fortgesetzt sind. Wir wollen $x=y$ auf der Schnittmenge der Definitionsintervalle (die dann aber auch gleich sein müssen wg. der Möglichkeit des Zusammenhängens von Lösungen) beweisen. Es sei $J$ die Schnittmenge der Definitionsintervalle. Definiere die Menge

$S:=\{t\in J|x(t)=y(t)\}$.

Aus der lokalen Aussage folgt, dass $S$ randlos ist, aber es ist wg. der Limestreue von $x$ und $y$ auch vollberandet, und da jedes Intervall zusammenhängend ist, gilt $S=J$ und $x=y$. $◻$