Mathematik für Faule: Divoidtheorie und Polynomalgebra/Der Redugensatz und der Gradsatz

Satz (Größe des Galois-Invoides):

Es sei $L/K$ eine endlichdimensionale Divoiderweiterung. Falls $[L:K]=n$, so gilt $\operatorname {Gal} (L/K)\leq n$.

Beweis: Falls $L/K$ endlichdimensional ist, so kann man $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}$ finden mit

$K\leq K(\alpha _{1})\leq K(\alpha _{1},\alpha _{2})\leq \ldots \leq K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})=L$.

In dieser Kette ist jede Divoiderweiterung einfach, und hat daher ein Minimalpolynom. Ein $K$-Dipfeil $\sigma$ überführt eine Nullstelle eines solchen Minimalpolynoms $p$ in eine von $\sigma (p)$, und es gibt daher nur soviele Möglichkeiten, wie dieses Polynom Nullstellen hat (und diese Zahl ist durch den Grad beschränkt). Da nach dem Redugensatz entsprechende Potenzen von $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}$ eine Redugenmenge von $L/K$ bilden, bestimmen solche Wahlen $\sigma$ komplett.

Also können wir die Behauptung aus dem Gradsatz folgern. $\Box$