Mathematik für Faule: Euklidische Geometrie/ Symmetrie

Satz (Klassifikation planarer Symmetrien):

Jede planare Symmetrie fällt unter eine der folgenden Kategorien:

• Translation
• Rotation
• Spiegelung
• Gleitspiegelung

Beweis: Es sei $Tx=Ox+v$ eine planare Symmetrie mit $O\in O_{2}(\mathbb {R} )$. Die Fixpunktgleichung lautet $(O-I)x=-v$, und sie ist nur dann nicht lösbar, wenn $\det(O-I)=0$. Falls $O$ eine Rotation ist, kann das nur sein, wenn $O=\operatorname {ID} _{2}$, und dann handelt es sich um eine Translation. Sonst existiert ein Fixpunkt, und durch Koordinatenwechsel erreichen wir, dass $T$ nilinear wird und somit eine Rotation oder Reflexion ist; letztere werden nun behandelt.

Es sei also $\det(O)=-1$. Aus der Standardgestalt solcher Abhängiger, nämlich

${\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&-\cos(\varphi )\end{pmatrix}}$

ersehen wir, dass $\det(O-I)=0$, weshalb ein Eigenwert $1$ ist. Das zugehörige Eigenelement zeigt eine Achse an, die von $O$ festgelassen wird. Unter Berücksichtigung eines zu dieser Achse orthogonal stehenden Elementes von $\mathbb {R} ^{2}$ (an der Null angesetzt) folgt, dass $O$ eine Spiegelung ist. Also können wir durch Koordinatenwechsel

$O={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

erreichen.

Wir schreiben nun $T$ als projektive Abhängige:

$T={\begin{pmatrix}1&0&v_{1}\\0&-1&v_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

Die transponierte Abhängige ist

$T'={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\v_{1}&v_{2}&1\end{pmatrix}}$.

Hieraus ersehen wir, dass $T$ eine Linie festlässt, denn es gibt zwei Eigenwerte (da im projektiven Raum Faktoren keine Rolle spielen, sind beide Eigenelemente projektive Fixlinien). Durch Koordinatenwechsel erreichen wir, dass diese Linie durch den Ursprung geht. Das Element aus $\mathbb {R} ^{2}$, welches diese Linie erzeugt, ist dann gleich (das neue) $v$. Wenn man $T$ auf die durch $v$ erzeugte Linie einschränkt, ist es eine eindimensionale Symmetrie und daher gleich der Translation um $v$. Es folgt $Ov=v$ und wie oben ist $O$ die Spiegelung um diese Achse. $\Box$

Satz (Minkowski):

Es gibt nur endlich viele endliche Unterinvoide von $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$.