Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Poisson-Integralformel

Satz (Poisson-Integralformel):

Es sei $f:S^{n-1}\to \mathbb {C}$ eine limestreue Zuordnung. Dann ist die eindeutige Laplace-Zuordnung $u$ auf $B_{1}(0)$, welche durch $f$ zu einer limestreuen Zuordnung auf ${\overline {B_{1}(0)}}$ erweitert wird, gegeben durch

$u(x)=\int _{S_{n-1}}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )$,

wobei

$P(x,\xi ):={\frac {1}{A(S_{n-1})}}{\frac {1-\|x\|^{2}}{\|x-\xi \|^{n}}}$.

Beweis: Für festes $\xi$ kann man nachrechnen, dass $P(\cdot ,\xi )$ eine Laplace-Zuordnung ist.

Wir definieren nun

$u(x):=\int _{S_{n-1}}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )$;

wegen Differenzierung unter dem Integralzeichen ist dies eine Laplace-Zuordnung, und es ist nur noch zu zeigen, dass $\lim _{x\to y}u(x)=f(y)$ für $y\in S_{n-1}$.

Betrachte nun die Zuordnung

$I(x):=\int _{S_{n-1}}P(x,\xi )A(d\xi )$,

die auf $B_{1}(0)$ definiert ist. Offensichtlich gilt $I(0)=1$. Außerdem ist $I$ rotationssymmetrisch und daher auf jeder kleineren Sphäre $rS_{n-1}$ ($r<1$) konstant. Nach dem Maximumssatz (und dem Minimumssatz) ist also $I$ in $B_{r}(0)$ konstant, und weil $r<1$ beliebig war, in ganz $B_{1}(0)$.

Nun ist $f$ eine limestreue Zuordnung, sodass $f$ in einem kleinen Umkreis $U$ von $y$ nur um $\epsilon$ von $f(y)$ abweicht. Es gilt ferner

$\int _{S_{n-1}}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )=\int _{U}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )+\int _{S_{n-1}\setminus U}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )$.

Wenn nun von der Mitte aus $x\to y$ geht, dann wird das zweite Integral vernachlässigbar, wie man durch Abschätzung mit einem $B_{\delta }(y)\subseteq U$ zeigen kann. Im ersten Integral hingegen kann man $f(\xi )$ durch $f(y)$ ersetzen, ohne es wesentlich zu verändern. Dann kann man dies Integral auf $S_{n-1}$ ausdehnen (der Restteil ist wieder vernachlässigbar), und wegen $I(x)=1$ erhält man einen Wert, der beliebig nahe an (und daher gleich) $f(y)$ ist. Gemäß der Dreiecksungleichung und der Limestreue von $f$ ist es hinreichend, den Limesprozess von der Mitte aus zu betrachten. $\Box$

Satz (Limes Laplace-Abhängiger):

Es sei $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge Laplace-Abhängiger auf einer randlosen Menge $\Omega$, die lokal uniform gegen eine Abhängige $u$ konvergiert. Dann ist $u$ ebenfalls Laplace.

Beweis: Es gilt für ein hinreichend kleines $B_{\epsilon }(y)\subseteq \Omega$ (wobei aber $y\in \Omega$ beliebig sein kann), dass die $x\mapsto u_{n}(\epsilon (x-y))$ in einer Umgebung von ${\overline {B_{\epsilon }(y)}}$ Laplace sind. Nennen wir diese Abhängigen $v_{n}$, so gilt nach obiger Formel, dass

$v_{n}(x)=\int _{S_{n-1}}v_{n}(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )$

für $\|x\|<1$. Im Limes $n\to \infty$ erhalten wir wegen der uniformen Konvergenz für $v:=x\mapsto u(\epsilon (x-y))$, dass

$v(x)=\int _{S_{n-1}}v(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )$.

Folglich ist $v$ (und somit auch $u$) Laplace. $\Box$