Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Poisson-Integralformel

Satz (Poisson-Integralformel):

Es sei $f:S^{n-1}\to \mathbb {C}$ eine limestreue Zuordnung. Dann ist die eindeutige Laplace-Zuordnung $u$ auf $B_{1}(0)$, welche durch $f$ zu einer limestreuen Zuordnung auf ${\overline {B_{1}(0)}}$ erweitert wird, gegeben durch

$u(x)=\int _{S_{n-1}}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )$,

wobei

$P(x,\xi ):={\frac {1}{A(S_{n-1})}}{\frac {1-\|x\|^{2}}{\|x-\xi \|^{n}}}$.

Beweis: Für festes $\xi$ kann man nachrechnen, dass $P(\cdot ,\xi )$ eine Laplace-Zuordnung ist.

Wir definieren nun

$u(x):=\int _{S_{n-1}}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )$;

wegen Differenzierung unter dem Integralzeichen ist dies eine Laplace-Zuordnung, und es ist nur noch zu zeigen, dass $\lim _{x\to y}u(x)=f(y)$ für $y\in S_{n-1}$.

Betrachte nun die Zuordnung

$I(x):=\int _{S_{n-1}}P(x,\xi )A(d\xi )$,

die auf $B_{1}(0)$ definiert ist. Offensichtlich gilt $I(0)=1$. Außerdem ist $I$ rotationssymmetrisch und daher auf jeder kleineren Sphäre $rS_{n-1}$ ($r<1$) konstant. Nach dem Maximumssatz (und dem Minimumssatz) ist also $I$ in $B_{r}(0)$ konstant, und weil $r<1$ beliebig war, in ganz $B_{1}(0)$.

Nun ist $f$ eine limestreue Zuordnung, sodass $f$ in einem kleinen Umkreis $U$ von $y$ nur um $\epsilon$ von $f(y)$ abweicht. Es gilt ferner

$\int _{S_{n-1}}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )=\int _{U}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )+\int _{S_{n-1}\setminus U}f(\xi )P(x,\xi )A(d\xi )$.

Wenn nun $x\to y$ geht, dann wird das zweite Integral aufgrund von $I(x)=1$ vernachlässigbar, weil sich das Integral um $y$ konzentriert. Im ersten Integral hingegen kann man $f(\xi )$ durch $f(y)$ ersetzen, ohne es wesentlich zu verändern. Dann kann man dies Integral auf $S_{n-1}$ ausdehnen (der Restteil ist wieder vernachlässigbar), und wegen $I(x)=1$ erhält man einen Wert, der beliebig nahe an (und daher gleich) $f(y)$ ist. $\Box$