Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Sätze von Picard

Satz (Der große Satz von Picard):

Es sei $f:U\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine eben-differenzierbare Zuordnung, die in $z_{0}$ eine Singularität unendlicher Vielfachheit hat. Dann nimmt $f$ um $z_{0}$ herum alle ebenen Werte bis auf höchstens eine Ausnahme unendlich oft an.

Beweis: Es reicht zu beweisen, dass für hinreichend kleines $r>0$ jeder Wert innerhalb der Kreisscheibe $B_{r}(0)$ angenommen wird. Unendlich viele Werte konstruieren wir dann als unendliche Folge, indem wir $r$ immer wieder kleiner wählen als der Betrag des letzten Wertes.

Angenommen, $f$ ließe auf $B_{r}(0)\setminus \{z_{0}\}$ zwei Werte aus. Betrachte die Folge von Zuordnungen

$f_{n}(z):=f(z/n)$.

Zunächst dünnen wir diese Folge aus, wie folgt: Da die Singularität unendliche Ordnung hat, gilt nicht $\lim _{z\to \infty }f(z)=\infty$, denn sonst hätte die Zuordnung nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz angewandt auf die Zuordnung in die Riemannsche Zahlenkugel eine Singularität endlicher Ordnung in $z_{0}$. Daher gibt es einen Wert $M>0$, sodass beliebig nahe an $z_{0}$ immer wieder Werte eines kleineren Betrages als $M$ auftreten. Wir werfen dann solche Zuordnungen aus der Folge, bei denen dies auf der ü-endlichen Menge

$K:=\{z\in \mathbb {C} |r/2\leq z\leq r\}$

nicht auftritt.

Allerdings ist die Folge nach dem großen Satz von Montel auch sublimesvoll, und da wegen der eben erfolgten Ausdünnung keine Teilfolge nach Unendlich konvergieren kann, muss es eine konvergente Teilfolge auf $K$ geben. Nun gilt wegen der Konvergenz einer solchen Teilfolge (und des Satzes von Weierstraß für die ersten paar Folgenglieder), dass

$\max _{z\in S_{r}^{1}}|f_{n}(z)|=\max _{z\in S_{r}^{1}}|f(z/n)|<C$

für beliebig große $n$ und ein gewisses $C>0$. Damit ist aber die Funktion $f$ auf $B_{r}(0)\setminus \{z_{0}\}$ beschränkt, weshalb man sie sogar nach $z_{0}$ fortsetzen kann, sodass $z_{0}$ keine Singularität (geschweige denn unendlicher Ordnung) ist, Widerspruch! $\Box$

Man beachte, dass dieser Satz auch etwas über Zuordnungen besagt, die mehrere Singularitäten haben; man kann nämlich die Restriktionen solcher Zuordnungen auf Umgebungen, die nur eine Singularität beinhalten, betrachten.