Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Sätze von Schwarz und Pick

Satz (Schwarz):

Es sei $f:{\overline {B_{1}(0)}}\to \mathbb {C}$ eine eben-differenzierbare Zuordnung, die in der $0$ von Ordnung $k$ verschwindet. Des weiteren sei

$M:=\max _{z\in \partial {\overline {B_{1}(0)}}}|f(z)|=\max _{z\in {\overline {B_{1}(0)}}}|f(z)|$.

Dann gilt

$\forall z\in B_{1}(0):|f(z)|\leq M|z|^{k}$ und $|f^{(k)}(0)|\leq Mk!$,

und wenn darin irgendwo die Gleichheit gilt, so ist $f(z)=\lambda z^{k}$ für ein $\lambda \in \mathbb {C}$ mit $|\lambda |=M$.

Beweis: Aufgrund der Potenzsummendarstellung von $f$ ist

$g(z):={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z^{k}}}&z\neq 0\\{\frac {1}{k!}}f^{(k)}(0)&z=0\end{cases}}$

eben-differenzierbar. Des weiteren gilt aufgrund des Randmaximumssatzes und $f|_{\partial {\overline {B_{1}(0)}}}=g|_{\partial {\overline {B_{1}(0)}}}$, dass

$\forall z\in {\overline {B_{1}(0)}}:|g(z)|\leq M$.

Dies impliziert

$\forall z\in B_{1}(0):|f(z)|\leq M|z|^{k}$ und $|f^{(k)}(0)|\leq Mk!$.

Gilt dort irgendwo die Gleichheit, so nimmt $g$ im Inneren von ${\overline {B_{1}(0)}}$ das Maximum an und ist daher konstant. Hieraus folgt die zweite Behauptung. $\Box$