Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Konvergenzextraktive Zuordnungsmengen

Definition (Sphärische Variation):

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ und es sei $f:U\to S^{2}$ eine eben-differenzierbare Abhängige. Es sei $\chi$ die chordale Distanz auf $S^{2}$. Die sphärische Variation von $f$ in einem Punkt $x\in U$ ist dann gegeben durch

$f^{\#}(x):=\lim _{h\to 0}{\frac {\chi (f(x+h),f(x))}{|h|}}$.

Proposition (Sphärische Variation der Reziproken):

Die Reziproke einer Abhängigen $f:U\to S^{2}$ hat dieselbe sphärische Variation wie $f$ selbst.

Beweis: Unter der stereographischen Projektion korrespondiert das Nehmen des Reziproken zur Reflexion an der Ebene orthogonal zum Nordpol. Dies jedoch ist eine Isometrie. $\Box$

Proposition (Formel für die sphärische Variation):

Es gilt

$f^{\#}(z)={\frac {2|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}$

überall dort, wo $f'(z)$ endlich ist.

Beweis: Dies folgt unmittelbar aus dem Einsetzen von

$\chi (z,w)={\frac {2\|z-w\|}{{\sqrt {1+\|z\|^{2}}}{\sqrt {1+\|w\|^{2}}}}}$

in die Definition der sphärischen Variation. $\Box$

Proposition (Sphärische Variation einer Dilation):

Es sei $g(z)=f(\lambda z)$ mit $\lambda \in \mathbb {R}$. Dann gilt

$g^{\#}=\lambda f^{\#}$.

Beweis: Man wende die Formel für die sphärische Variation entweder auf $g$ oder $1/g$ an, je nachdem, was endlich ist. $\Box$

Proposition (Limestreue der sphärischen Variation):

Es sei $f_{n}\to f$ lokal uniform (bzgl. der chordalen Distanz). Dann gilt $f_{n}^{\#}\to f^{\#}$ punktweise.

Beweis: Dies folgt aus $f_{n}'\to f'$ bzw. $(1/f_{n})'\to (1/f)'$, je nachdem, ob $f'$ oder $(1/f)'$ endlich ist. $\Box$

Satz (Marty):

Eine Menge von Abhängigen ${\mathcal {F}}$ von einer ü-endlichen Teilmenge $K\subseteq \mathbb {C}$ in die Riemann-Sphäre $S^{2}$ ist genau dann konvergenzextraktiv, wenn es eine Konstante $C>0$ gibt, sodass

$\forall f\in {\mathcal {F}}:\forall z\in K:f^{\#}(z)\leq C$.

Beweis: Gelte zunächst obige Beschränktheitsbedingung. Wegen

$\chi (z,w)=\|P_{N}^{-1}(z)-P_{N}^{-1}(w)\|$ (wobei $P_{N}$ die stereographische Projektion durch den Nordpol ist)

gilt, dass

$\chi (f(z),f(z+h))=\|P_{N}^{-1}(f(z))-P_{N}^{-1}(f(z+h))\|$.

Setze ${\mathcal {G}}:=\{P_{N}^{-1}\circ f|f\in {\mathcal {F}}\}$; dies ist eine Menge von Abhängigen $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$. Wegen der Beschränktheitsbedingung ist ${\mathcal {G}}$ konvergenzextraktiv, da die Differenziale beschränkt sind; man kann schließlich den Limes in den Betrag ziehen. Somit ist auch ${\mathcal {F}}$ konvergenzextraktiv.

Umgekehrt sei ${\mathcal {F}}$ nun konvergenzextraktiv, und die Bedingung sei verletzt. Dann gäbe es eine Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Elementen aus ${\mathcal {F}}$, sodass $f_{n}^{\#}$ für $n$ hinreichend groß beliebig groß wird. Wenn aber nun ${\mathcal {F}}$ konvergenzextraktiv ist, so können wir daraus eine konvergente Teilfolge $(f_{n_{k}})_{k}$ extrahieren. Konvergiere diese gegen $g:K\to S^{2}$. Dann gilt für alle $z\in K$ entweder $g(z)<\infty$ oder $1/g(z)<\infty$, und dies (wegen der Limestreue von $g$) auch noch in einer Umgebung von $z$. Da $P_{N}$ ein differenzierbarer Dipfeil ist, gilt etwa im ersteren Falle $f_{n_{k}}\to g$ in einer Umgebung von $z$. Nach der Formel für die sphärische Variation und dem Konvergenzsatz von Weierstraß gilt dort auch $f_{n_{k}}^{\#}\to g$, sodass $f_{n_{k}}^{\#}$ auf besagter Umgebung beschränkt bleibt. Aber $K$ ist ü-endlich und lässt sich darum mit endlich vielen solcher Umgebungen überdecken. So wird ein Widerspruch herbeigeführt. $\Box$