Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Konvergenzextraktive Zuordnungsmengen

Definition (Sphärische Variation):

Es sei $U\subseteq ℂ$ und es sei $f:U\to S^2$ eine eben-differenzierbare Abhängige. Es sei $\chi$ die chordale Distanz auf $S^2$. Die sphärische Variation von $f$ in einem Punkt $x\in U$ ist dann gegeben durch

$f^{\mathrm{\#}}(x):=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\chi (f(x+h),f(x))}{|h|}$.

Proposition (Sphärische Variation der Reziproken):

Die Reziproke einer Abhängigen $f:U\to S^2$ hat dieselbe sphärische Variation wie $f$ selbst.

Beweis: Unter der stereographischen Projektion korrespondiert das Nehmen des Reziproken zur Reflexion an der Ebene orthogonal zum Nordpol. Dies jedoch ist eine Isometrie. $◻$

Proposition (Formel für die sphärische Variation):

Es gilt

$f^{\mathrm{\#}}(z)=\frac{2|f^{\prime }(z)|}{1+|f(z){|}^2}$

überall dort, wo $f^{\prime }(z)$ endlich ist.

Beweis: Dies folgt unmittelbar aus dem Einsetzen von

$\chi (z,w)=\frac{2\Vert z-w\Vert }{\sqrt{1+\Vert z{\Vert }^2}\sqrt{1+\Vert w{\Vert }^2}}$

in die Definition der sphärischen Variation. $◻$

Proposition (Sphärische Variation einer Dilation):

Es sei $g(z)=f(\lambda z)$ mit $\lambda \in ℝ$. Dann gilt

$g^{\mathrm{\#}}=\lambda f^{\mathrm{\#}}$.

Beweis: Man wende die Formel für die sphärische Variation entweder auf $g$ oder $1/g$ an, je nachdem, was endlich ist. $◻$

Proposition (Limestreue der sphärischen Variation):

Es sei $f_n\to f$ lokal uniform (bzgl. der chordalen Distanz). Dann gilt $f_n^{\mathrm{\#}}\to f^{\mathrm{\#}}$ punktweise.

Beweis: Dies folgt aus ${f_n}^{\prime }\to f^{\prime }$ bzw. $(1/f_n{)}^{\prime }\to (1/f{)}^{\prime }$, je nachdem, ob $f^{\prime }$ oder $(1/f{)}^{\prime }$ endlich ist. $◻$

Satz (Marty):

Eine Menge von Abhängigen $ℱ$ von einer ü-endlichen Teilmenge $K\subseteq ℂ$ in die Riemann-Sphäre $S^2$ ist genau dann konvergenzextraktiv, wenn es eine Konstante $C>0$ gibt, sodass

$\mathrm{\forall }f\in ℱ:\mathrm{\forall }z\in K:f^{\mathrm{\#}}(z)\le C$.

Beweis: Gelte zunächst obige Beschränktheitsbedingung. Wegen

$\chi (z,w)=\Vert P_N^{-1}(z)-P_N^{-1}(w)\Vert$ (wobei $P_N$ die stereographische Projektion durch den Nordpol ist)

gilt, dass

$\chi (f(z),f(z+h))=\Vert P_N^{-1}(f(z))-P_N^{-1}(f(z+h))\Vert$.

Setze $𝒢:=\{P_N^{-1}\circ f|f\in ℱ\}$; dies ist eine Menge von Abhängigen ${ℝ}^2\to {ℝ}^3$. Wegen der Beschränktheitsbedingung ist $𝒢$ konvergenzextraktiv, da die Differenziale beschränkt sind; man kann schließlich den Limes in den Betrag ziehen. Somit ist auch $ℱ$ konvergenzextraktiv.

Umgekehrt sei $ℱ$ nun konvergenzextraktiv, und die Bedingung sei verletzt. Dann gäbe es eine Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von Elementen aus $ℱ$, sodass $f_n^{\mathrm{\#}}$ für $n$ hinreichend groß beliebig groß wird. Wenn aber nun $ℱ$ konvergenzextraktiv ist, so können wir daraus eine konvergente Teilfolge $(f_{n_k}{)}_k$ extrahieren. Konvergiere diese gegen $g:K\to S^2$. Dann gilt für alle $z\in K$ entweder $g(z)<\mathrm{\infty }$ oder $1/g(z)<\mathrm{\infty }$, und dies (wegen der Limestreue von $g$) auch noch in einer Umgebung von $z$. Da $P_N$ ein differenzierbarer Dipfeil ist, gilt etwa im ersteren Falle $f_{n_k}\to g$ in einer Umgebung von $z$. Nach der Formel für die sphärische Variation und dem Konvergenzsatz von Weierstraß gilt dort auch $f_{n_k}^{\mathrm{\#}}\to g$, sodass $f_{n_k}^{\mathrm{\#}}$ auf besagter Umgebung beschränkt bleibt. Aber $K$ ist ü-endlich und lässt sich darum mit endlich vielen solcher Umgebungen überdecken. So wird ein Widerspruch herbeigeführt. $◻$