Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Konvergenzextraktive Zuordnungsmengen

Satz (Marty):

Eine Menge von Zuordnungen ${\mathcal {F}}$ von einer ü-endlichen Teilmenge $K\subseteq \mathbb {C}$ in die Riemann-Sphäre $S^{2}$ ist genau dann konvergenzextraktiv, wenn es eine Konstante $C>0$ gibt, sodass

$\forall f\in {\mathcal {F}}:\forall z\in K:\min\{|f'(z)|,|(1/f)'(z)|\}\leq C$.

Beweis: Gebe es zuerst eine solche Konstante $C>0$. Es sei $z_{0}\in U$; da die Riemann-Sphäre ü-endlich ist, ist dem Satz von Arzelà–Ascoli zufolge nur nachzuweisen, dass ${\mathcal {F}}$ uniform limestreu ist. Es sei also $f\in {\mathcal {F}}$, und es sei $\delta >0$. Betrachte den Pfad

$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} ,\gamma (t):=(1-t)z_{0}+t(z_{0}+\delta e^{i\varphi })$.

Für beliebiges $\varphi$ führt dieser Pfad von $z_{0}$ zu einem beliebigen Punkt, der genau $\delta$ weit von $z_{0}$ entfernt ist. Aufgrund der Voraussetzung, der Limestreue von $f$ und der Ü-Endlichkeit von $[0,1]$ können wir $[0,1]$ mit endlich vielen randlosen Mengen überdecken, auf denen jeweils entweder $f'$ oder $(1/f)'$ strikt kleiner als $2C$ ist. Auf jedem der so entstehenden Abschnitte kann der Pfad $f\circ \gamma$ auf der Sphäre nur die Abschnittlänge mal $2C$ zurücklegen, da die zwei Karteninversen kontraktiv sind. Daher kann insgesamt höchstens die Strecke $2C\delta$ zurückgelegt werden.

Umgekehrt sei ${\mathcal {F}}$ nun konvergenzextraktiv, und die Bedingung sei verletzt. Dann gäbe es eine Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Elementen aus ${\mathcal {F}}$, sodass das gegebene Minimum mit $n$ gegen Unendlich konvergiert. Wenn aber nun ${\mathcal {F}}$ konvergenzextraktiv ist, so können wir daraus eine konvergente Teilfolge extrahieren, und dem Satz von Hurwitz zufolge wäre das gegebene Minimum in dieser Teilfolge doch beschränkt, welshalb es also nicht gegen unendlich konvergieren kann. $\Box$