Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Lokale Arithmonide eben-differenzierbarer Zuordnungen

Satz (Ein lokales Arithmonid eben-differenzierbarer Zuordnungen ist Noethersch):

Das lokale Arithmonid $O_{0}^{n}$ eben-differenzierbarer Zuordnungen in $n$ Dimensionen ist Noethersch.

Beweis: Es sei ein beliebiges Element $f\in O_{0}^{n}$ gegeben. Gemäß dem Satz vom Weierstraß-Polynom schreiben wir $f=gh$, wobei $h$ invertierbar und $g$ ein Weierstraß-Polynom ist. Es ist also folglich jedes Element aus $O_{0}^{n}$ das Produkt aus einer Einheit und einem Element des nach Iterduktion und dem Hilbertschen Endlichkeitssatz Noetherschen Arithmonids $O_{0}^{n-1}[z_{n}]$. Dann ist aber die Idealstruktur von $O_{0}^{n}$ eingebettet in diejenige von $O_{0}^{n-1}[z_{n}]$, und somit ist $O_{0}^{n}$ selbst Noethersch. $\Box$

Satz (Ein lokales Arithmonid eben-differenzierbarer Zuordnungen ist primfaktoriell):

Das lokale Arithmonid $O_{0}^{n}$ eben-differenzierbarer Zuordnungen in $n$ Dimensionen ist primfaktoriell.

Beweis: Da $O_{0}^{n}$ Noethersch ist, lässt sich jedes Element $f\in O_{0}^{n}$ als Produkt unzerlegbarer Elemente schreiben. Jedes dieser unzerlegbaren Elemente wiederum ist nach dem Satz vom Weierstraß-Polynom das Produkt aus einem Weierstraß-Polynom und einem invertierbaren Element, wobei die Weierstraß-Polynome natürlich unzerlegbar sind. Die Eindeutigkeit des Weierstraß-Polynoms, zusammen mit Iterduktion und dem Satz von Gauss (die implizieren, dass $O_{0}^{n-1}[z_{n}]$ faktoriell ist) liefert dann, dass die Zerlegung von $f$ eindeutig ist. $\Box$