Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Lokale Arithmonide eben-differenzierbarer Zuordnungen

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Satz (Ein lokales Arithmonid eben-differenzierbarer Zuordnungen ist Noethersch):

Das lokale Arithmonid eben-differenzierbarer Zuordnungen in Dimensionen ist Noethersch.

Beweis: Es sei ein beliebiges Element gegeben. Gemäß dem Satz vom Weierstraß-Polynom schreiben wir , wobei invertierbar und ein Weierstraß-Polynom ist. Es ist also folglich jedes Element aus das Produkt aus einer Einheit und einem Element des nach Iterduktion und dem Hilbertschen Endlichkeitssatz Noetherschen Arithmonids . Dann ist aber die Idealstruktur von eingebettet in diejenige von , und somit ist selbst Noethersch.

Satz (Ein lokales Arithmonid eben-differenzierbarer Zuordnungen ist primfaktoriell):

Das lokale Arithmonid eben-differenzierbarer Zuordnungen in Dimensionen ist primfaktoriell.

Beweis: Da Noethersch ist, lässt sich jedes Element als Produkt unzerlegbarer Elemente schreiben. Jedes dieser unzerlegbaren Elemente wiederum ist nach dem Satz vom Weierstraß-Polynom das Produkt aus einem Weierstraß-Polynom und einem invertierbaren Element, wobei die Weierstraß-Polynome natürlich unzerlegbar sind. Die Eindeutigkeit des Weierstraß-Polynoms, zusammen mit Iterduktion und dem Satz von Gauss (die implizieren, dass faktoriell ist) liefert dann, dass die Zerlegung von eindeutig ist.