Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Selbstdipfeile der Einheitskreisscheibe

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Satz (Bestimmte Möbiustransformationen lassen den Einheitskreis fest):

Es sei , und definiere

.

Dann wird der Einheitskreis von zu sich selbst zugeordnet.

Beweis: Ein jedes lässt sich schreiben als . Setze . Dann gilt

.

Folglich gilt aufgrund der Möbius-Bruchformel

.

Der Nenner ist aber minus das Konjugierte des Zählers! Daher ist der Betrag des Bruchs gleich eins.