Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Selbstdipfeile der Einheitskreisscheibe

Satz (Bestimmte Möbiustransformationen lassen den Einheitskreis fest):

Es sei $w\in \mathbb {C} \setminus S^{1}$, und definiere

$\Phi _{w}(z):={\frac {z-w}{z{\overline {w}}-1}}$.

Dann wird der Einheitskreis $S^{1}$ von $\Phi _{w}$ zu sich selbst zugeordnet.

Beweis: Ein jedes $y\in S^{1}$ lässt sich schreiben als $y=e^{i\varphi }$. Setze $x:=e^{i\varphi /2}$. Dann gilt

$y={\frac {x}{\overline {x}}}$.

Folglich gilt aufgrund der Möbius-Bruchformel

$\Phi _{w}(y)={\frac {x-w{\overline {x}}}{{\overline {w}}x-{\overline {x}}}}$.

Der Nenner ist aber minus das Konjugierte des Zählers! Daher ist der Betrag des Bruchs gleich eins. $\Box$