Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Zuordnungen endlichen Hochgrades

Satz (Cauchy-Abschätzungen):

Es sei $u:B_{r}(0)\to \mathbb {R}$ Laplace und es sei $M>0$ mit $|u(x)|\leq M$ für alle $x\in B_{r}(0)$. Dann gilt

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle |\partial^\alpha u(0)| \le M \frac{C_\alpha}{r^{|α|}}} ,

wobei die $C_{\alpha }>0$ gewisse Konstanten sind, die nur von $\alpha$ und insb. nicht von $u$ abhängen.

Beweis: Gemäß der Poisson-Formel gilt, falls $v$ auf einer Umgebung von ${\overline {B_{1}(0)}}$ Laplace ist,

$v(x)=\int _{S^{1}}{\frac {1-\|x\|^{2}}{\|x-\xi \|^{n}}}v(\xi )d\xi$.

Daher folgt

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} |\partial^\alpha v(x)| & = \left| \int_{S^1} \partial^\alpha \frac{1 - \|x\|^2}{\|x - \xi\|^n} v(\xi) d\xi \right| \\ & \le M \underbrace{\left| \int_{S^1} \partial^\alpha \frac{1 - \|x\|^2}{\|x - \xi\|^n} d\xi}_{=: C_\alpha} \right| \end{align}}

Dies kann man nun auf Skalierungen von $u$ anwenden. $\Box$

Satz (Liouville):

Es sei $u:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ Laplace. Wenn gilt

$|u(x)|\in O(\|x\|^{n})$,

dann ist $u$ ein Polynom des Grades höchstens $n$.

Beweis: Zunächst bemerken wir, dass jede Verschiebung $u(\cdot +y)$ von $u$ (hier $y\in \mathbb {R} ^{d}$ ebenfalls die Abschätzung $|u(x+y)|\in O(\|x\|^{n})$ erfüllt. Daher gilt aufgrund der Cauchy-Abschätzungen

$|\partial _{x}^{\alpha }\partial _{x_{j}}u(x+y)|_{x=0}|\leq C_{\alpha }{\frac {C_{y}}{\|x\|}}$

für $|\alpha |=n$. Mit $x\to \infty$ folgt (da $j$ beliebig war), dass $\partial _{x}^{\alpha }u(y)=0$. $\Box$

Satz (Satz von Liouville für den Realteil):

Es sei $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eben-differenzierbar. Falls für ein $n\in \mathbb {N}$ die Abschätzung

$\Re f(z)\in O(|z|^{n})$

gilt, so ist $f$ ein Polynom, dessen Grad ferner höchstens $n$ ist.

Beweis: $\Re f$ ist harmonisch, weshalb es nach dem Satz von Liouville ein Polynom vom Grad höchstens $n$ ist. Aufgrund der Cauchy–Riemann-Gleichungen ist auch $\Im f$ ein Polynom vom Grad höchstens $n$. Somit ist $f$ ein Polynom vom Grad höchstens $n$. $\Box$