Mathematik für Faule: Lineare Algebra/Ü-endlichierende Zuordnungen

Definition (Ü-endlichierende Zuordnung):

Es seien $X$ und $Y$ Linearitätsräume, wobei $X$ zusätzlich eine Distanz habe, und $Y$ wenigstens eine Toposmenge. Eine lineare Zuordnung $T:X\to Y$ heißt ü-endlichierend genau dann, wenn ${\overline {T(B_{1}(0))}}\subset Y$ ü-endlich ist.

Satz (Der Rayleigh-Quotient liefert Eigenwerte):

Es sei $H$ ein Hilbertraum und $T:H\to H$ eine spiegelsymmetrische, ü-endlichisierende lineare Zuordnung. Falls

$\sup _{x\in H\setminus \{0\}}r_{T}(x)\neq 0$,

so ist dieser Wert der maximale Eigenwert von $T$. Ist ferner

$\inf _{x\in H\setminus \{0\}}r_{T}(x)\neq 0$,

so ist dieser Wert der minimale Eigenwert von $T$.

Beweis: Wir beweisen nur die Formel für den maximalen Eigenwert. Die für den minimalen Eigenwert folgt, wenn man $T$ durch $-T$ ersetzt. Falls $H$ endlichdimensional ist, können wir den Satz von den Lagrange-Faktoren benutzen, um zu beweisen, dass das gegebene Maximum einen Eigenwert liefert (der a priori noch nicht der größte sein muss; siehe dafür unten).

Nun sei $H$ unendlichdimensional. Da $T$ ü-endlichisierend ist, können wir eine abzählbare Redugenmenge $(e_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ wählen, sodass alle Elemente von $H$, welche nicht in ${\overline {\operatorname {span} \{e_{j}|j\in \mathbb {N} \}}}$ liegen, von $T$ zur $0$ zugeordnet werden. Es sei $P_{n}:H\to H$ die Orthogonalprojektion auf $V_{n}:=\operatorname {span} \{e_{j}|j\in \{1,\ldots ,n\}\}$. Dann gilt $P_{n}T\to P$, falls $n\to \infty$. Ferner ist $P_{n}T$ spiegelsymmetrisch auf $V_{n}$: Für $x,y\in V_{n}$ gilt nämlich, da ja $P_{n}$ als Orthogonalprojektion ebenfalls spiegelsymmetrisch ist, $\langle P_{n}Tx,y\rangle =\langle Tx,P_{n}y\rangle =\langle Tx,y\rangle$ und da $T$ spiegelsymmetrisch ist, dürfen wir $x$ und $y$ vertauschen und zurückrechnen. Aus dem endlichdimensionalen Fall folgt, dass es ein Eigenelement $v_{n}\in V_{n}$ von $P_{n}T|_{V_{n}}$ gibt mit $\|v_{n}\|=1$, dessen Eigenwert der maximale Rayleigh-Quotient (nennen wir ihn $r_{n}$) von $P_{n}T|_{V_{n}}$ ist. Zunächst bemerken wir, dass

$r_{n}\to r_{\infty }:=\sup _{x\in H\setminus \{0\}}r_{T}(x)$ mit $n\to \infty$,

da wir das Supremum durch einen Einheitsvektor in $V_{n}$ beliebig approximieren können.

Nun ist ferner $T$ ü-endlichisierend, und daher können wir eine Teilfolge $(v_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ von $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ wählen, sodass $Tv_{n_{k}}\to w$ für ein $w\in H$. Es gilt dann

$\|w-r_{\infty }v_{n_{k}}\|\leq \|w-\overbrace {r_{n_{k}}v_{n_{k}}} ^{=P_{n_{k}}T|_{V_{n_{k}}}v_{n_{k}}}\|+\|r_{n_{k}}v_{n_{k}}-r_{\infty }v_{n_{k}}\|$,

wobei alle Summanden auf der rechten Seite gegen null gehen. Daher auch

$\|Tw-r_{\infty }\overbrace {Tv_{n_{k}}} ^{\to w}\|\to 0$

und $w$ ist ein Eigenelement. $\Box$

Satz (Eigenelementzerlegung):

Es sei $H$ ein Hilbertraum und $T:H\to H$ eine spiegelsymmetrische, ü-endlichisierende Zuordnung. Dann gibt es eine Redugenmenge $B$ von $H$, die ausschließlich aus Eigenelementen von $T$ besteht.

Beweis: Wir ordnen alle Orthonormalsysteme, die sämtlich aus Eigenelementen von $T$ bestehen, bezüglich Inklusion an. Aus dem Satz von Zorn folgt, dass es ein maximales solches Orthonormalsystem gilt. Sei $M$ dieses Orthonormalsystem. Falls $M$ noch keine Redugenmenge ist, so können zwei Fälle auftreten:

1. Der Rayleigh-Quotient aller Elemente in $\operatorname {span} (M)^{\bot }$ ist null. Dann ist $T|_{\operatorname {span} (M)^{\bot }}=0$ und daher können wir $M$ noch um Eigenelemente zum Eigenwert $0$ ergänzen, ein Widerspruch.
2. Der Rayleigh-Quotient aller Elemente in $\operatorname {span} (M)^{\bot }$ ist ungleich null. Dann können wir wegen $T\operatorname {span} (M)^{\bot }\subseteq \operatorname {span} (M)^{\bot }$ (was leicht nachzuweisen ist) einen Eigenvektor in $\operatorname {span} (M)^{\bot }$ erhalten, und diesen zu $M$ hinzufügen, und das ist ebenfalls ein Widerspruch. $\Box$