Mathematik für Faule: Lineare Algebra/ Bilineare Zuordnungen

Satz (Lax–Milgram):

Es sei $a$ eine bilineare, limestreue Zuordnung definiert auf einem abzählbar-dimensionalen Hilbertraum $X$, welche $\forall v\in X:a(v,v)>c\|v\|^{2}$ für ein gewisses $c>0$ erfüllt, und es sei $l$ eine lineare limestreue Zuordnung auf demselben Raum. Dann gibt es ein $u\in X$, sodass

$\forall v\in X:a(u,v)=l(v)$.

Beweis: Die Behauptung gilt sicherlich für den endlich-dimensionalen Fall, da dann die Tabelle, welche zu $a$ zugehörig ist, invertierbar ist. Für den abzählbar-unendlichdimensionalen Fall argumentieren wir wie folgt: Es sei $(V_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von endlich-dimensionalen Unterräumen von $X$ mit den Eigenschaften

$V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots \subseteq V_{n}\subseteq \ldots$ und $X={\overline {\bigcup _{n\in \mathbb {N} }V_{n}}}$.

Für jeden dieser Unterräume wählen wir ein $u_{n}$, für welches wenigstens für die $w\in V_{n}$ die Gleichung $a(u_{n},w)=l(w)$ gültig ist. Aufgrund der Bedingung $\forall v\in X:a(v,v)>c\|v\|^{2}$ ist diese Folge beschränkt. Daher ist auch $a(u_{n},\cdot )$ schwach beschränkt. Dem Satz von Alaoglu zufolge gibt es eine Teilfolge $(u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$, welche schwach gegen einen Limes $u$ konvergiert. Eine Teilfolge von $a(u_{n_{k}},\cdot )$ konvergiert dann schwach gegen einen Limes. Somit gilt $a(u,v)=l(v)$ auf dem von den Elementen aller $V_{n}$ aufgespannten Unterraum, und wegen der Limestreue von $a$ und $l$ somit auf dem gesamten Raum $X$. $\Box$

Satz (Courant–Fischer):

Beweis: Besteht $V_{n}$ aus den ersten $n$ Eigenelementen, so können wir den Satz über den Rayleigh-Quotienten für endlichdimensionale lineare Zuordnungen anwenden. Für die andere Ungleichung bemerken wir zunächst, dass ${\overline {\operatorname {span} \{e_{m},e_{m+1},\ldots \}}}\cap V_{m}\neq \{0\}$ gilt, da wir sonst für $V/{\overline {\operatorname {span} \{e_{m},e_{m+1},\ldots \}}}$ zwei verschiedene Dimensionen erhalten. Die Behauptung folgt dann daraus, dass in ${\overline {\operatorname {span} \{e_{m},e_{m+1},\ldots \}}}$ der Rayleigh-Quotient mindestens $\lambda _{m}$ ist, denn sonst könnte man darin ein Eigenelement zu einem kleineren Eigenwert finden, der dann zu allen $e_{m},e_{m+1},\ldots$ orthogonal wäre. $\Box$