Mathematik für Faule: Lineare Algebra/ Charakteristische Gleichungen

Definition (Charakteristische Gleichungen):

Es sei $M$ ein endlich erzeugter Linearitätsraum bezüglich eines Arithmoids $R$, und es sei $\varphi :M\to M$ eine nilineare Selbstzuordnung (also ein Selbstpfeil in der Kategorie der Linearitätsräume bzgl. $R$). Eine charakteristische Gleichung von $\varphi$ ist eine Polynomgleichung der Form

$\det(A-\lambda I_{n})=0$,

wobei $A\in R^{n\times n}$ eine Tabelle für die Abbildung $\varphi$ bezüglich eines Erzeugendensystems $m_{1},\ldots ,m_{n}$ ist; es soll also gelten

$\varphi (m_{j})=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}m_{j}$ ($i\in \{1,\ldots ,n\}$).

Satz (Cayley–Hamilton):

Es sei $M$ ein endlich erzeugter Linearitätsraum bezüglich eines Arithmoids $R$. Es sei $\varphi$ eine Selbstzuordnung von $M$. Dann erfüllt $\varphi$ alle seine charakteristischen Gleichungen.

Beweis: Es sei $m_{1},\ldots ,m_{n}$ eine Erzeugendenmenge von $M$, wobei $n\in \mathbb {N}$. Die Tabellen im Tabellenraum $R[\varphi ]^{n\times n}$ wirken auf $M^{n}$ durch die Vorschrift

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1,j}x_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{n,j}x_{j}\end{pmatrix}}$;

man beachte, dass bei dieser Konstruktion die Tabellen-Array-Multiplikation imitiert wurde. Es sei nun eine Tabelle $A\in R[\varphi ]^{n\times n}$ gegeben, welche

$\varphi (m_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}m_{j}$

erfüllt. Wir setzen

$B:=A-\varphi I_{n}$,

und dann gilt nach Wahl der Tabelle $A$, dass

$B(m_{1},\ldots ,m_{n})^{t}=0$.

Allerdings besagt der Satz von Cramér, dass

$\operatorname {Cof} (B)B=(\det B)I_{n}$,

weshalb also insgesamt

$\det(B)m_{j}=0$

für alle $j\in \{1,\ldots ,n\}$. Da die $m_{j}$ eine Erzeugendenmenge darstellen, ist somit $\det(B)\in R[\varphi ]$ die Nullzuordnung, was zu beweisen war. $\Box$

Satz (Nakayama):

Es sei $M$ ein endlich erzeugter Linearitätsraum bezüglich eines Arithmoids $R$. Ferner sei $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann

$M=IM\Rightarrow \exists r\in R:rM=0\wedge r\equiv 1\mod I$.

Beweis: Es sei $m_{1},\ldots ,m_{n}$ eine Erzeugendenmenge von $M$. Da $M=IM$ gilt, hat die Identität von $M$ (die wir durch $\operatorname {Id} _{M}$ bezeichnen wollen) bezüglich $m_{1},\ldots ,m_{n}$ eine Tabelle $A\in R^{n\times n}$, deren Einträge sämtlich in $I$ sind. Nach dem Satz von Cayley–Hamilton erfüllt $\operatorname {Id} _{M}$ die charakteristische Gleichung, die aus $A$ entsteht, und da $\operatorname {Id} _{M}$ in $R[\operatorname {Id} _{M}]$ das Einselement darstellt, gilt also

$\det(A-I_{n})M=0$,

und die Determinante auf der linken Seite dieser Gleichung ist das gesuchte Element, wie man aus der vollständigen Expansion der Determinante leicht ersieht. $\Box$