Mathematik für Faule: Lineare Algebra/ Das Dachprodukt

Definition (Signiertes Projektionsvolumen):

Es sei $e_{1},\ldots ,e_{n}$ die Standardredugenmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ und $e_{1}^{*},\ldots ,e_{n}^{*}$ die zugehörigen Nillinearen. Dann ist das signierte Projektionsvolumen assoziiert zu einem Tupel $(j_{1},\ldots ,j_{k})\in \{1,\ldots ,n\}^{k}$ mit $k\in \mathbb {N}$ der Elemente $v_{1},\ldots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$, notiert

$e_{j_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{j_{k}}^{*}(v_{1},\ldots ,v_{k})$,

definiert als das signierte Volumen desjenigen Parallelepipeds, welches von den Elementen

$(v_{1,j_{1}},\ldots ,v_{1,j_{k}}),\ldots ,(v_{k,j_{1}},\ldots ,v_{k,j_{k}})\in \mathbb {R} ^{k}$

aufgespannt wird.

Man betrachtet also nur die Indices, die man vorher spezifiziert hat.

Satz (Redugenmenge des alternierenden Raumes):

Eine Redugenmenge des alternierenden Raumes $\bigwedge ^{*}\mathbb {R} ^{n}$ ist gegeben durch

$\{1\}\cup \{e_{j_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{j_{k}}^{*}|1\leq k\leq n,j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\}$.

Hierbei ist für ein festes $k$

$\{e_{j_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{j_{k}}^{*}|j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\}$

eine Redugenmenge für $\bigwedge ^{k}\mathbb {R} ^{n}$, sodass

$\dim \bigwedge ^{k}\mathbb {R} ^{n}={\binom {n}{k}}$ und $\dim \bigwedge ^{*}\mathbb {R} ^{n}=2^{n}$.

Definition (Dachprodukt):

Wir definieren das sog. Dachprodukt (für $k,l\in \mathbb {N}$)

$\wedge :\bigwedge ^{k}\mathbb {R} ^{n}\times \bigwedge ^{l}\mathbb {R} ^{n}\to \bigwedge ^{k+l}\mathbb {R} ^{n}$

durch die binillineare Fortsetzung von

$(e_{j_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{j_{k}}^{*},e_{r_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{r_{l}}^{*})\mapsto e_{j_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{j_{k}}^{*}\wedge e_{r_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{r_{l}}^{*}$.

Satz (Formel für das Dachprodukt):

Es gilt für $\omega \in \bigwedge ^{k}\mathbb {R} ^{n}$ und $\eta \in \bigwedge ^{l}\mathbb {R} ^{n}$

$\omega \wedge \eta ={\frac {1}{k!l!}}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}\operatorname {sgn} {\sigma }\sigma (\omega \otimes \eta )$.

Beweis: Wegen der Binillinearität müssen wir die Formel nur für die $e_{j_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{j_{k}}^{*},e_{r_{1}}^{*}\wedge \cdots \wedge e_{r_{l}}^{*}$ prüfen. Hierzu bemerken wir, dass die rechte Seite, falls keine wiederholten Indices vorliegen, alle Eigenschaften einer Determinante aufweist. $\Box$

Proposition (Determinantenformel):

Es sei $\omega \in \bigwedge ^{n}\mathbb {R} ^{n}$, und es seien $B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ sowie $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} ^{n}$. Dann gilt

$\omega (Bv_{1},\ldots ,Bv_{n})=\det(B)\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})$.

Beweis: Da $\omega \in \bigwedge ^{n}\mathbb {R} ^{n}$ gilt $\omega =c\det$, da $\omega$ von der Normiertheit abgesehen alle Eigenschaften der Determinante aufweist (oder wegen Redugenmenge des alternierenden Raumes). Somit folgt die Behauptung unmittelbar aus der Multiplikativität der Determinante. $\Box$