Mathematik für Faule: Lineare Algebra/ Ideale

Satz (Für koprime Ideale sind Schnittmenge und Produkt gleich):

Es sei $R$ ein Arithmoid und $I,J$ seien koprime Ideale. Dann ist $IJ=I\cap J$.

Beweis: $IJ\subseteq I\cap J=I\cap J\cdot R=I\cap J(I+J)\subseteq IJ$. $\Box$

Satz (Potenzen koprimer Ideale sind koprim):

Es sei $R$ ein Arithmoid und $I,J$ seien koprime Ideale. Dann sind für alle $m,n\in \mathbb {N}$ die Ideale $I^{n}$ und $J^{m}$ koprim.

Beweis: Zuerst zeigen wir, dass allgemein $I$ koprim zu $J^{m}$ ist; der allgemeine Fall folgt dann durch zweifaches Anwenden dieser Behauptung. Wir verwenden hierfür eine kleine Induktion: Der Induktionsanfang $m=1$ ist die Voraussetzung, und der Induktionsschritt lautet

$R=I+J^{m}=(I+J)(I+J^{m})\subseteq I+J^{m+1}$. $\Box$