Mathematik für Faule: Lineare Algebra/ Isometrien

Satz (Isometrien von Hilberträumen, die den Nullpunkt erhalten, sind nillinear und orthonormal):

Es seien $H,H^{\prime }$ Hilberträume und $\phi :H\to H^{\prime }$ eine Isometrie mit $\phi (0)=0$. Dann ist $\phi$ orthonormal nillinear.

Beweis: Es bewahrt $\phi$ das Skalarprodukt von Elementen; dies folgt aus

$2⟨x,y⟩=\Vert x-y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2$.

Nun können wir aber Orthonormalerzeuger $(e_{\lambda }{)}_{\lambda \in \Lambda }$ von $H$ wählen. Die $\phi$ von $e_{\lambda }$ bilden dann zumindest ein Orthonormalsystem gegeben durch $\phi (e_{\lambda })$. Es sei $x\in H$ gegeben durch

$x=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\alpha }_{\lambda }{e}_{\lambda }$.

Dann ist

$\phi (x)=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\beta }_{\lambda }\phi (e_{\lambda })+r$, wobei $r\mathrm{\perp }\overline{\mathrm{span}\{\phi (e_{\lambda })|\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}}$.

Da $\phi$ das Skalarprodukt erhält, gilt für jedes ${\lambda }_0\in \Lambda$

${\alpha }_{{\lambda }_0}=⟨e_{{\lambda }_0},x⟩=⟨\phi (e_{{\lambda }_0}),\phi (x)⟩={\beta }_{{\lambda }_0}$,

und da $\phi$ die Größe erhält, gilt $r=0$. Aus der Gestalt von $\phi$, die wir eben bewiesen haben, folgt nun die Behauptung. $◻$