Mathematik für Faule: Logik/Einsetzung

Satz (Die syntaktischen Regeln der Einsetzung sind korrekt):

Beweis:

Fall 6: $\varphi =(\forall x\psi ){\frac {t_{1}\ldots t_{n}}{x_{1}\ldots x_{n}}}$.

Der entsprechenden syntaktischen Regel für das Einsetzen zufolge gilt

$\varphi =\forall y\left(\psi {\frac {t_{j_{1}}\ldots t_{j_{k}}y}{x_{j_{1}}\ldots x_{j_{k}}x}}\right)$,

wobei $j_{1},\ldots ,j_{k}$ die relevanten Indices sind und $y$ eine Variable ist, die noch nicht in $\psi$ oder $t_{1},\ldots ,t_{n}$ vorkommt. Daher gilt

${\begin{aligned}{\mathfrak {M}}_{b}\vDash \varphi &\Leftrightarrow {\mathfrak {M}}_{b}\vDash \forall y\left(\psi {\frac {t_{j_{1}}\ldots t_{j_{k}}y}{x_{j_{1}}\ldots x_{j_{k}}x}}\right)&\\&\Leftrightarrow {\text{für alle }}a\in A{\text{ gilt }}{\mathfrak {M}}_{b}{\frac {a}{y}}\vDash \psi {\frac {t_{j_{1}}\ldots t_{j_{k}}y}{x_{j_{1}}\ldots x_{j_{k}}x}}&{\text{(Definition)}}\\&\Leftrightarrow {\text{für alle }}a\in A{\text{ gilt }}\left({\mathfrak {M}}_{b}{\frac {a}{y}}\right){\frac {b{\frac {a}{y}}(t_{j_{1}})\ldots b{\frac {a}{y}}(t_{j_{k}})b{\frac {a}{y}}(y)}{x_{j_{1}}\ldots x_{j_{k}}x}}\vDash \psi &{\text{(letzter Schritt)}}\\&\Leftrightarrow {\text{für alle }}a\in A{\text{ gilt }}\left({\mathfrak {M}}_{b}{\frac {a}{y}}\right){\frac {b(t_{j_{1}})\ldots b(t_{j_{k}})a}{x_{j_{1}}\ldots x_{j_{k}}x}}\vDash \psi &{\text{(da }}y{\text{ in }}t_{1},\ldots ,t_{n}{\text{ nicht vorkommt)}}\\&\Leftrightarrow {\text{für alle }}a\in A{\text{ gilt }}{\mathfrak {M}}_{b}{\frac {b(t_{j_{1}})\ldots b(t_{j_{k}})a}{x_{j_{1}}\ldots x_{j_{k}}x}}\vDash \psi &{\text{Kommutativität und }}y\notin \operatorname {free} (\psi )\\&\Leftrightarrow {\mathfrak {M}}_{b}{\frac {b(t_{j_{1}})\ldots b(t_{j_{k}})}{x_{j_{1}}\ldots x_{j_{k}}}}\vDash \forall x\psi &{\text{Assoziativität}}\end{aligned}}$. $\Box$