Mathematik für Faule: Maßtheorie/ Konvergenzsätze

Satz (Satz von der monotonen Konvergenz, Beppo Levi):

Es sei $(Ω, ℱ, μ)$ ein Maßraum und $(f_{n})_{n \in ℕ}$ eine Folge von nichtnegativen, messbarrücksendenden Zuordnungen $Ω \to ℝ_{\geq 0} \cup {\infty}$ , die jenseits einer Nullmenge punktweise monoton wachsend gegen eine Zuordnung $f_{\infty} : Ω \to ℝ_{\geq 0}$ konvergiert. Dann gilt

\int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} (x) μ (d x) = lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} (x) μ (d x)

.

Beweis: Man wähle eine beliebige nicht-negative Indikatorkombination $g$ , welche kleiner oder gleich $f_{\infty}$ ist. Wegen der monotonen Konvergenz von $(f_{n})_{n \in ℕ}$ ist die messbare Mengenfolge

{(x, y) \in Ω \times ℝ | y \leq g (x) & y \leq f_{n} (x)}

eine Ausschöpfung der Menge

{(x, y) \in Ω \times ℝ | y \leq g (x)

.

Da das Integral von $g$ beliebig nahe an dem von $f$ gewählt werden kann, folgt die Behauptung aus der Limestreue von Maßen. $◻$

Satz (Fatou):

Es sei $(Ω, ℱ, μ)$ ein Maßraum und $(f_{n})_{n \in ℕ}$ eine Folge von nichtnegativen, messbarrücksendenden Zuordnungen $Ω \to ℝ_{\geq 0} \cup {\infty}$ . Dann gilt

\underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{Ω} f_{n} (x) μ (d x) \geq \int_{Ω} \underset{n \to \infty}{lim inf} f_{n} (x) μ (d x)

.

Beweis: Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt für jedes $N \in ℕ$ und $k \geq N$

\int_{Ω} inf_{n \geq N} f_{n} (x) μ (d x) \leq \int_{Ω} f_{k} (x) μ (d x) \Rightarrow \int_{Ω} inf_{n \geq N} f_{n} (x) μ (d x) \leq inf_{n \geq N} \int_{Ω} f_{n} (x) μ (d x)

.

Andererseits ist die Folge

{(inf_{n \geq N} f_{n} (x))}_{N \in ℕ}

nicht-negativ und streng monoton wachsend, sodass die Behauptung aus dem Satz von Beppo Levi folgt. $◻$