Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Der Satz von Dedekind

Proposition (Induzierter Dipfeil für bestimmte Quotienten):

Es sei $M$ ein Abelsches Invoid und $N \leq M$ . Dann gilt

Satz (Satz von Dedekind):

Es sei $K / ℚ$ eine endliche Divoiderweiterung und $𝒪_{K}$ das entsprechende Erweiterungsarithmonid. Falls $K = ℚ (α)$ mit $α$ monisch über $ℤ$ , so sei $p ∤ | 𝒪_{k} / ℤ [α] |$ , letzterer Quotient als $ℤ$ -Linearitätsräume. Es sei $p \in ℕ$ eine Primzahl und

p = P_{1}^{e_{1}} P_{2}^{e_{2}} \dots P_{n}^{e_{n}}

die Primfaktorzerlegung von $p$ in $𝒪_{k}$ . Dann gilt, dass das Minimalpolynom $g$ von $α$ modulo $p$ eine Faktorisierung der folgenden Gestalt besitzt:

g \equiv g_{1}^{e_{1}} g_{2}^{e_{2}} \dots g_{n}^{e_{n}} mod p

Hierbei gilt des weiteren $\forall k \in {1, \dots, n} : \deg g_{k} = f_{k}$ , wobei $f_{k}$ der Klassenerweiterungsgrad von $P_{k}$ sei.

Beweis: Dem Chinesischen Restsatz und der vorangehenden Proposition zufolge erhalten wir

\prod_{k = 1}^{n} 𝒪_{K} / P_{k}^{e_{k}} ≅ 𝒪_{k} / p 𝒪_{k} ≅ ℤ [α] / p ℤ [α] ≅ \prod_{j = 1}^{m} 𝔽_{p} [x] / {\overline{g_{j}}}^{{e_{j}}^{'}}

.

Nach dem Korrespondenzsatz (insb. der Inklusionserhaltung) und der Gestalt von Primäridealen in Arithmonidprodukten lässt sich jedes $\overline{g_{j}}$ einem $P_{k}$ zuordnen, und ebenso die Idealpotenzen.

Die Aussage über die Klassenerweiterungsgrade erhalten wir durch Herausteilen der Produkte von allen anderen (nichtrelevanten) Faktoren und der Dimension von $𝔽_{p} [x] / \overline{g_{j}}$ , die ja gerade $\deg g_{j}$ ist. $◻$