Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Der Satz von Dedekind

Proposition (Induzierter Dipfeil für bestimmte Quotienten):

Es sei $M$ ein Abelsches Invoid und $N\leq M$. Dann gilt

Satz (Satz von Dedekind):

Es sei $K/\mathbb {Q}$ eine endliche Divoiderweiterung und ${\mathcal {O}}_{K}$ das entsprechende Erweiterungsarithmonid. Falls $K=\mathbb {Q} (\alpha )$ mit $\alpha$ monisch über $\mathbb {Z}$, so sei $p\nmid |{\mathcal {O}}_{k}/\mathbb {Z} [\alpha ]|$, letzterer Quotient als $\mathbb {Z}$-Linearitätsräume. Es sei $p\in \mathbb {N}$ eine Primzahl und

$p=P_{1}^{e_{1}}P_{2}^{e_{2}}\cdots P_{n}^{e_{n}}$

die Primfaktorzerlegung von $p$ in ${\mathcal {O}}_{k}$. Dann gilt, dass das Minimalpolynom $g$ von $\alpha$ modulo $p$ eine Faktorisierung der folgenden Gestalt besitzt:

$g\equiv g_{1}^{e_{1}}g_{2}^{e_{2}}\cdots g_{n}^{e_{n}}\mod p$

Hierbei gilt des weiteren $\forall k\in \{1,\ldots ,n\}:\deg g_{k}=f_{k}$, wobei $f_{k}$ der Klassenerweiterungsgrad von $P_{k}$ sei.

Beweis: Dem Chinesischen Restsatz und der vorangehenden Proposition zufolge erhalten wir

$\prod _{k=1}^{n}{\mathcal {O}}_{K}/P_{k}^{e_{k}}\cong {\mathcal {O}}_{k}/p{\mathcal {O}}_{k}\cong \mathbb {Z} [\alpha ]/p\mathbb {Z} [\alpha ]\cong \prod _{j=1}^{m}\mathbb {F} _{p}[x]/{\overline {g_{j}}}^{e_{j}'}$.

Nach dem Korrespondenzsatz (insb. der Inklusionserhaltung) und der Gestalt von Primäridealen in Arithmonidprodukten lässt sich jedes ${\overline {g_{j}}}$ einem $P_{k}$ zuordnen, und ebenso die Idealpotenzen.

Die Aussage über die Klassenerweiterungsgrade erhalten wir durch Herausteilen der Produkte von allen anderen (nichtrelevanten) Faktoren und der Dimension von $\mathbb {F} _{p}[x]/{\overline {g_{j}}}$, die ja gerade $\deg g_{j}$ ist. $\Box$