Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Monische Erweiterungen

Definition (monisches Element):

Es sei $A\subseteq B$ eine Erweiterung von Arithmoiden. Ein Element $b\in B$ heißt monisch genau dann, wenn es eine monische Polynomgleichung mit Koeffizienten in $A$, d. h. also der Leitkoeffizent ist $1$, erfüllt; etwa

$b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}$

mit $a_{0},\ldots ,a_{n-1}\in A$.

Definition (Monische Erweiterung):

Eine Erweiterung $A\subseteq B$ von Arithmoiden heißt monisch genau dann, wenn jedes Element aus $B$ bezüglich $A$ monisch ist.

Satz (Für die Arithmoide einer monischen Erweiterung ist das Divoid-sein äquivalent):

Es sei $A\subseteq B$ eine monische Erweiterung. Dann ist $A$ ein Divoid genau dann, wenn $B$ ein Divoid ist.

Beweis: Sei zunächst $A$ ein Divoid, und sei $b\in B$. Dann erfüllt $b$ nach Definition (und zwei Umformungen) eine Gleichung

$b(b^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+\cdots +a_{1})=-a_{0}$.

Da $A$ ein Divoid ist, hat $a_{0}$ ein Inverses, und somit können wir das Inverse von $b$ gleich ablesen. Sei nun $B$ ein Divoid, und sei $a\in A$. Dann gibt es zumindest ein Inverses $a^{-1}$ in $B$, von dem wir nur noch zeigen müssen, dass es in $A$ liegt. In der Tat erfüllt $a^{-1}$ als Element von $B$ eine Gleichung

$(a^{-1})^{n}+a_{n-1}(a^{-1})^{n-1}+\cdots +a_{1}a^{-1}+a_{0}$

mit $a_{0},\ldots ,a_{n-1}\in A$, und durch Multiplikation mit $a^{n-1}$ ersehen wir, dass $a^{-1}\in A$. $\Box$

Definition (Monische Vollständigkeit):

Ein nullteilerfreies Arithmoid heißt monisch vollständig, wenn alle Elemente von $\operatorname {Frac} (A)$, welche monisch bzgl. $A$ sind, bereits in $A$ enthalten sind.

Beispiel (Ein Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern ist monisch vollständig):

Es sei $A$ ein Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern. Dann ist $A$ monisch vollständig.

Beweis: Es sei ${\frac {x}{y}}\in \operatorname {Frac} (A)$ monisch über $A$. Da $A$ größte gemeinsame Teiler hat, können wir annehmen, dass der Bruch ${\frac {x}{y}}$ gekürzt ist. Dann ist auch ${\frac {x^{n}}{y^{n}}}$ gekürzt, denn

$\gcd(a,b)=1\wedge \gcd(a,c)=1\Rightarrow \gcd(a,bc)=1$

gilt in jedem Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern. Nun gilt aber eine Gleichung der Form

$\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}=-a_{n-1}\left({\frac {x}{y}}\right)^{n-1}-\cdots -a_{1}{\frac {x}{y}}-a_{0}$,

woraus folgt, dass der Bruch doch nicht gekürzt war. $\Box$

Satz (Endlichkeitskriterium für Monizität):

Es sei $A\subseteq B$ eine Arithmoiderweiterung, und $b\in B$. Dann ist $b$ monisch über $A$ genau dann, wenn das Arithmoid $A[b]$ als Linearitätsraum bzgl. $A$ endlich erzeugt ist.

Beweis: Falls $b$ über $A$ monisch ist, so impliziert die gegebene Polynomgleichung sofort, dass $1,b,\ldots ,b^{n}$ ein Erzeugendensystem für $B$ über $A$ ist, wobei $n$ der Grad der Polynomgleichung ist.

Umgekehrt sei $A[b]$ endlich erzeugt. Die Zuordnung

$A[b]\to A[b],c\mapsto cb$

ist ein Pfeil von Linearitätsräumen über $A$, und nach dem Satz von Cayley—Hamilton erfüllt diese Zuordnung eine charakteristische Gleichung, deren Leitkoeffizient nach Definition der Determinante natürlich eine Potenz von $b$ ist. $\Box$

Satz (Die monischen Elemente bezüglich eines Arithmoids bilden selbst ein Arithmoid):

Es sei $A$ ein Arithmoid, und es sei $K$ ein Divoid, sodass $A\subseteq K$ eine Arithmoiderweiterung ist. Es sei $B$ die Menge aller Elemente aus $K$, welche über $A$ monisch sind. Dann ist $B$ ein Arithmoid.

Beweis: Es seien $A[x]$ und $A[y]$ als Linearitätsräume bzgl. $A$ endlich erzeugt. Dann ist es auch $A[x,y]$, denn falls $\{m_{1},\ldots ,m_{n}\}$ und $\{l_{1},\ldots ,l_{k}\}$ jeweils Erzeugendenmengen für $A[x]$ bzw. $A[y]$ sind, so sieht man anhand der Darstellung der Elemente von $A[x,y]$ als Summen von Monomen, dass die Vereinigung der beiden Mengen, zusammen mit Produkten der Form $m_{i}l_{j}$, eine Erzeugendenmenge für $A[x,y]$ darstellt. Aber $A[x,y]$ enthält $xy$ und $x+y$ (und additive Inverse sowieso). $\Box$

Satz (Charakterisierung monischer Elemente in Divoiderweiterungen):

Es sei $A$ ein monisch vollständiges Arithmoid, und es sei $K=\operatorname {Frac} (A)$. Des weiteren sei $L$ eine Divoiderweiterung von $K$. Ein Element $b\in L$ ist genau dann monisch über $A$, wenn $b$ sowohl algebraisch ist als auch sein normiertes Minimalpolynom ein Polynom mit Koeffizienten in $A$ ist.

Beweis: Wenn $b$ algebraisch über $K$ ist und das normierte Minimalpolynom Koeffizienten in $A$ hat, so ist $b$ schon nach Definition monisch über $A$.

Sei umgekehrt $b$ monisch über $A$. Dann ist $b$ sicherlich algebraisch über $K$. Es sei $f$ das Minimalpolynom von $b$. Nach einem wohlbekannten Existenzsatz über Divoiderweiterungen zerfällt $f$ in einem Erweiterungsdivoid $M$ von $L$ in Linearfaktoren. In diesem Divoid $M$ gibt es dann $K$-Dipfeile, die durch $b\mapsto b'$ bestimmt sind, wobei $b'$ irgendeine andere Nullstelle von $f$ ist. Diese fixieren dann natürlich die monische Polynomgleichung, welche von $b$ erfüllt wird, sodass alle anderen Nullstellen von $f$ ebenfalls monisch über $A$ sind.

Die Koeffizienten des Polynoms $f$ sind aber nichts weiter als die symmetrischen Polynome der Nullstellen von $f$, und diese sind also monisch über $A$, da die monischen Elemente einen Ring bilden. Sie sind aber auch in $K$ enthalten, und da $A$ monisch abgeschlossen ist, sind sie folglich auch in $A$ enthalten, was zu beweisen war. $\Box$

Satz (Erster Hilbertscher Schnittidealsatz):

Es sei $A\subseteq B$ eine monische Arithmoiderweiterung, und es sei $p\subseteq A$ ein Primideal. Dann gibt es ein Primideal $P\subseteq B$ mit $P\cap A=p$ (d. h. die Schnittmenge von $P$ mit $A$ ist $p$).

Beweis: Zuerst bemerken wir, dass es genügt, den Fall zu betrachten, dass $A$ ein lokales Arithmoid ist. Dies gilt, da im allgemeinen Falle sowohl bei $A$ als auch bei $B$ mit der multiplikativen Menge $S:=A\setminus p$ eine Brucheinführung durchgeführt werden kann, und $A_{S}$ ist dann lokal, und der Korrespondenzsatz für die Brucheinführung beweist dann den Satz im allgemeinen Fall.

Dann sei also nun $A$ lokal mit maximalem Ideal $m$. Dann ist $mB$ ein Ideal von $B$, denn falls $mB=B$, so ist $1\in mB$, weshalb bereits $1\in mB'$, wobei $B'$ ein Arithmoid ist, welches bzgl. $A$ von endlich vielen Elementen erzeugt wird und deshalb nach dem Endlichkeitskriterium für Monizität ein endlich erzeugter Linearitätsraum bzgl. $A$ ist. Daher gibt es nach dem Satz von Nakayama ein Element $a\in A$ mit $a\equiv 1\mod m$ und $aB'=0$, was nicht sein kann, weil $1\in B'$ und $a\neq 0$.

Daher können wir einfach ein maximales Ideal $M\subseteq B$ wählen, welches $mB$ enthält; $M\cap A$ enthält dann $m$, aber offensichtlich nicht die $1$, sodass $M\cap A=m$, da $m$ ein maximales Ideal ist. $\Box$

Satz (Zweiter Hilbertscher Schnittidealsatz):

Es sei $A\subseteq B$ eine monische Arithmoiderweiterung, und $p\subseteq A$ ein Primideal. Es seien $P,Q\subseteq B$ Primideale mit $P\cap A=Q\cap A=p$. Wenn $P\neq Q$, dann kann weder $P\subseteq Q$ noch $Q\subseteq P$ sein.

Beweis: Erneut ermöglicht der Korrespondenzsatz für die Brucheinführung die Beschränkung aller Betrachtungen auf den Fall eines lokalen Arithmoids und eines maximalen Ideals. Dann ist aber $A/m\subseteq B/M$ ebenfalls eine monische Erweiterung (man kann die von $A\subseteq B$ induzierte Gleichung schlicht modulo $M$ nehmen), und daher ist $B/M$ ein Divoid, also $M$ maximal, was den Satz beweist. $\Box$

Satz (Hilbert–Krullscher Schnittidealsatz):

Es sei $A$ ein Arithmoid, $K=\operatorname {Frac} (A)$ und $L$ eine zerfällende polynomielle Divoiderweiterung über $L$. Des weiteren sei $B$ die monische Vervollständigung von $A$ in $L$. Es sei $p\subseteq A$ ein Primideal und $P,Q\subseteq B$ seien Primideale mit $P\cap A=Q\cap A=p$. Dann gibt es einen $K$-Selbstdipfeil $\varphi :L\to L$ mit $\varphi (P)=Q$.

Beweis: Wir setzen $K':=\operatorname {Fix} (\operatorname {Gal} (L/K))$. Dann ist $K'/K$ rein inseparabel, und das eindeutige Primideal in der monischen Vervollständigung $B'$, wessen Schnittmenge mit $A$ gleich $p$ ist, ist gegeben durch

$P':=\{x\in B'|\exists n\in \mathbb {N} :x^{n}\in p\}$.

Daher können wir, indem wir $K$ durch $K'$ ersetzen, davon ausgehen, dass $L/K$ eine Galoiserweiterung ist.

Zuerst betrachten wir den Fall, dass $L/K$ endlichdimensional ist. Wir beweisen zunächst, dass

$Q\subseteq \bigcup _{\varphi \in \operatorname {Gal} (L/K)}\varphi (P)$

ist. Sei also $x\in Q$. Dann ist, weil $L/K$ Galois ist,

$\prod _{\varphi \in \operatorname {Gal} (L/K)}\varphi (x)\in p\subseteq P$

als Fixelement des gesamten Galoisinvoids, und da $P$ prim ist, ist $\varphi _{0}(x)\in P$ für ein gewisses $\varphi _{0}$.

Jetzt ist aber der Primideal-Vermeidungssatz anwendbar, der hier besagt, dass $Q\subseteq \varphi _{0}(P)$ für ein gewisses $\varphi _{0}\in \operatorname {Gal} (L/K)$. Wegen des Zweiten Hilbertschen Schnittidealsatzes folgt $Q=\varphi _{0}(P)$, was den endlichdimensionalen Fall abhandelt.

Nun zum allgemeinen Fall. Es sei $M$ ein Zwischendivoid von $L/K$, welches bzgl. $K$ endlichdimensional ist. Dann ist die Menge

$F(M):=\{\varphi \in \operatorname {Gal} (M/K)|\varphi (P\cap M)=Q\cap M\}$

nichtleer (wegen des bereits bewiesenen endlichdimensionalen Falls) und bezüglich der Krulltoposmenge abgeschlossen. Die Menge aller solchen $F(M)$ besitzt die endliche Schnittmengeneigenschaft, da man den endlichdimensionalen Fall dieses Satzes auf das Konjunktdivoid endlich vieler $M$s anwenden kann. Daher ist wegen der Kompaktheit der Krulltoposmenge auch die Schnittmenge aller $F(M)$'s (wobei $M$ ein beliebiges endlichdimensionales Zwischendivoid wie oben ist) nichtleer, was zu beweisen war. $\Box$