Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Monische Erweiterungen

Definition (monisches Element):

Es sei $A \subseteq B$ eine Erweiterung von Arithmoiden. Ein Element $b \in B$ heißt monisch genau dann, wenn es eine monische Polynomgleichung mit Koeffizienten in $A$ , d. h. also der Leitkoeffizent ist $1$ , erfüllt; etwa

b^{n} + a_{n - 1} b^{n - 1} + \dots + a_{1} b + a_{0}

mit $a_{0}, \dots, a_{n - 1} \in A$ .

Definition (Monische Erweiterung):

Eine Erweiterung $A \subseteq B$ von Arithmoiden heißt monisch genau dann, wenn jedes Element aus $B$ bezüglich $A$ monisch ist.

Satz (Für die Arithmoide einer monischen Erweiterung ist das Divoid-sein äquivalent):

Es sei $A \subseteq B$ eine monische Erweiterung. Dann ist $A$ ein Divoid genau dann, wenn $B$ ein Divoid ist.

Beweis: Sei zunächst $A$ ein Divoid, und sei $b \in B$ . Dann erfüllt $b$ nach Definition (und zwei Umformungen) eine Gleichung

b (b^{n - 1} + a_{n - 1} b^{n - 2} + \dots + a_{1}) = - a_{0}

.

Da $A$ ein Divoid ist, hat $a_{0}$ ein Inverses, und somit können wir das Inverse von $b$ gleich ablesen. Sei nun $B$ ein Divoid, und sei $a \in A$ . Dann gibt es zumindest ein Inverses $a^{- 1}$ in $B$ , von dem wir nur noch zeigen müssen, dass es in $A$ liegt. In der Tat erfüllt $a^{- 1}$ als Element von $B$ eine Gleichung

(a^{- 1})^{n} + a_{n - 1} (a^{- 1})^{n - 1} + \dots + a_{1} a^{- 1} + a_{0}

mit $a_{0}, \dots, a_{n - 1} \in A$ , und durch Multiplikation mit $a^{n - 1}$ ersehen wir, dass $a^{- 1} \in A$ . $◻$

Definition (Monische Vollständigkeit):

Ein nullteilerfreies Arithmoid heißt monisch vollständig, wenn alle Elemente von $Frac (A)$ , welche monisch bzgl. $A$ sind, bereits in $A$ enthalten sind.

Beispiel (Ein Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern ist monisch vollständig):

Es sei $A$ ein Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern. Dann ist $A$ monisch vollständig.

Beweis: Es sei $\frac{x}{y} \in Frac (A)$ monisch über $A$ . Da $A$ größte gemeinsame Teiler hat, können wir annehmen, dass der Bruch $\frac{x}{y}$ gekürzt ist. Dann ist auch $\frac{x^{n}}{y^{n}}$ gekürzt, denn

gcd (a, b) = 1 \land gcd (a, c) = 1 \Rightarrow gcd (a, b c) = 1

gilt in jedem Arithmoid mit größten gemeinsamen Teilern. Nun gilt aber eine Gleichung der Form

{(\frac{x}{y})}^{n} = - a_{n - 1} {(\frac{x}{y})}^{n - 1} - \dots - a_{1} \frac{x}{y} - a_{0}

,

woraus folgt, dass der Bruch doch nicht gekürzt war. $◻$

Satz (Endlichkeitskriterium für Monizität):

Es sei $A \subseteq B$ eine Arithmoiderweiterung, und $b \in B$ . Dann ist $b$ monisch über $A$ genau dann, wenn das Arithmoid $A [b]$ als Linearitätsraum bzgl. $A$ endlich erzeugt ist.

Beweis: Falls $b$ über $A$ monisch ist, so impliziert die gegebene Polynomgleichung sofort, dass $1, b, \dots, b^{n}$ ein Erzeugendensystem für $B$ über $A$ ist, wobei $n$ der Grad der Polynomgleichung ist.

Umgekehrt sei $A [b]$ endlich erzeugt. Die Zuordnung

A [b] \to A [b], c \mapsto c b

ist ein Pfeil von Linearitätsräumen über $A$ , und nach dem Satz von Cayley—Hamilton erfüllt diese Zuordnung eine charakteristische Gleichung, deren Leitkoeffizient nach Definition der Determinante natürlich eine Potenz von $b$ ist. $◻$

Satz (Die monischen Elemente bezüglich eines Arithmoids bilden selbst ein Arithmoid):

Es sei $A$ ein Arithmoid, und es sei $K$ ein Divoid, sodass $A \subseteq K$ eine Arithmoiderweiterung ist. Es sei $B$ die Menge aller Elemente aus $K$ , welche über $A$ monisch sind. Dann ist $B$ ein Arithmoid.

Beweis: Es seien $A [x]$ und $A [y]$ als Linearitätsräume bzgl. $A$ endlich erzeugt. Dann ist es auch $A [x, y]$ , denn falls ${m_{1}, \dots, m_{n}}$ und ${l_{1}, \dots, l_{k}}$ jeweils Erzeugendenmengen für $A [x]$ bzw. $A [y]$ sind, so sieht man anhand der Darstellung der Elemente von $A [x, y]$ als Summen von Monomen, dass die Vereinigung der beiden Mengen, zusammen mit Produkten der Form $m_{i} l_{j}$ , eine Erzeugendenmenge für $A [x, y]$ darstellt. Aber $A [x, y]$ enthält $x y$ und $x + y$ (und additive Inverse sowieso). $◻$

Satz (Charakterisierung monischer Elemente in Divoiderweiterungen):

Es sei $A$ ein monisch vollständiges Arithmoid, und es sei $K = Frac (A)$ . Des weiteren sei $L$ eine Divoiderweiterung von $K$ . Ein Element $b \in L$ ist genau dann monisch über $A$ , wenn $b$ sowohl algebraisch ist als auch sein normiertes Minimalpolynom ein Polynom mit Koeffizienten in $A$ ist.

Beweis: Wenn $b$ algebraisch über $K$ ist und das normierte Minimalpolynom Koeffizienten in $A$ hat, so ist $b$ schon nach Definition monisch über $A$ .

Sei umgekehrt $b$ monisch über $A$ . Dann ist $b$ sicherlich algebraisch über $K$ . Es sei $f$ das Minimalpolynom von $b$ . Nach einem wohlbekannten Existenzsatz über Divoiderweiterungen zerfällt $f$ in einem Erweiterungsdivoid $M$ von $L$ in Linearfaktoren. In diesem Divoid $M$ gibt es dann $K$ -Dipfeile, die durch $b \mapsto b^{'}$ bestimmt sind, wobei $b^{'}$ irgendeine andere Nullstelle von $f$ ist. Diese fixieren dann natürlich die monische Polynomgleichung, welche von $b$ erfüllt wird, sodass alle anderen Nullstellen von $f$ ebenfalls monisch über $A$ sind.

Die Koeffizienten des Polynoms $f$ sind aber nichts weiter als die symmetrischen Polynome der Nullstellen von $f$ , und diese sind also monisch über $A$ , da die monischen Elemente einen Ring bilden. Sie sind aber auch in $K$ enthalten, und da $A$ monisch abgeschlossen ist, sind sie folglich auch in $A$ enthalten, was zu beweisen war. $◻$

Satz (Erster Hilbertscher Schnittidealsatz):

Es sei $A \subseteq B$ eine monische Arithmoiderweiterung, und es sei $p \subseteq A$ ein Primideal. Dann gibt es ein Primideal $P \subseteq B$ mit $P \cap A = p$ (d. h. die Schnittmenge von $P$ mit $A$ ist $p$ ).

Beweis: Zuerst bemerken wir, dass es genügt, den Fall zu betrachten, dass $A$ ein lokales Arithmoid ist. Dies gilt, da im allgemeinen Falle sowohl bei $A$ als auch bei $B$ mit der multiplikativen Menge $S := A ∖ p$ eine Brucheinführung durchgeführt werden kann, und $A_{S}$ ist dann lokal, und der Korrespondenzsatz für die Brucheinführung beweist dann den Satz im allgemeinen Fall.

Dann sei also nun $A$ lokal mit maximalem Ideal $m$ . Dann ist $m B$ ein Ideal von $B$ , denn falls $m B = B$ , so ist $1 \in m B$ , weshalb bereits $1 \in m B^{'}$ , wobei $B^{'}$ ein Arithmoid ist, welches bzgl. $A$ von endlich vielen Elementen erzeugt wird und deshalb nach dem Endlichkeitskriterium für Monizität ein endlich erzeugter Linearitätsraum bzgl. $A$ ist. Daher gibt es nach dem Satz von Nakayama ein Element $a \in A$ mit $a \equiv 1 mod m$ und $a B^{'} = 0$ , was nicht sein kann, weil $1 \in B^{'}$ und $a \neq 0$ .

Daher können wir einfach ein maximales Ideal $M \subseteq B$ wählen, welches $m B$ enthält; $M \cap A$ enthält dann $m$ , aber offensichtlich nicht die $1$ , sodass $M \cap A = m$ , da $m$ ein maximales Ideal ist. $◻$

Satz (Zweiter Hilbertscher Schnittidealsatz):

Es sei $A \subseteq B$ eine monische Arithmoiderweiterung, und $p \subseteq A$ ein Primideal. Es seien $P, Q \subseteq B$ Primideale mit $P \cap A = Q \cap A = p$ . Wenn $P \neq Q$ , dann kann weder $P \subseteq Q$ noch $Q \subseteq P$ sein.

Beweis: Erneut ermöglicht der Korrespondenzsatz für die Brucheinführung die Beschränkung aller Betrachtungen auf den Fall eines lokalen Arithmoids und eines maximalen Ideals. Dann ist aber $A / m \subseteq B / M$ ebenfalls eine monische Erweiterung (man kann die von $A \subseteq B$ induzierte Gleichung schlicht modulo $M$ nehmen), und daher ist $B / M$ ein Divoid, also $M$ maximal, was den Satz beweist. $◻$

Satz (Hilbert–Krullscher Schnittidealsatz):

Es sei $A$ ein Arithmoid, $K = Frac (A)$ und $L$ eine zerfällende polynomielle Divoiderweiterung über $L$ . Des weiteren sei $B$ die monische Vervollständigung von $A$ in $L$ . Es sei $p \subseteq A$ ein Primideal und $P, Q \subseteq B$ seien Primideale mit $P \cap A = Q \cap A = p$ . Dann gibt es einen $K$ -Selbstdipfeil $φ : L \to L$ mit $φ (P) = Q$ .

Beweis: Wir setzen $K^{'} := Fix (Gal (L / K))$ . Dann ist $K^{'} / K$ rein inseparabel, und das eindeutige Primideal in der monischen Vervollständigung $B^{'}$ , wessen Schnittmenge mit $A$ gleich $p$ ist, ist gegeben durch

P^{'} := {x \in B^{'} | \exists n \in ℕ : x^{n} \in p}

.

Daher können wir, indem wir $K$ durch $K^{'}$ ersetzen, davon ausgehen, dass $L / K$ eine Galoiserweiterung ist.

Zuerst betrachten wir den Fall, dass $L / K$ endlichdimensional ist. Wir beweisen zunächst, dass

Q \subseteq ⋃_{φ \in Gal (L / K)} φ (P)

ist. Sei also $x \in Q$ . Dann ist, weil $L / K$ Galois ist,

\prod_{φ \in Gal (L / K)} φ (x) \in p \subseteq P

als Fixelement des gesamten Galoisinvoids, und da $P$ prim ist, ist $φ_{0} (x) \in P$ für ein gewisses $φ_{0}$ .

Jetzt ist aber der Primideal-Vermeidungssatz anwendbar, der hier besagt, dass $Q \subseteq φ_{0} (P)$ für ein gewisses $φ_{0} \in Gal (L / K)$ . Wegen des Zweiten Hilbertschen Schnittidealsatzes folgt $Q = φ_{0} (P)$ , was den endlichdimensionalen Fall abhandelt.

Nun zum allgemeinen Fall. Es sei $M$ ein Zwischendivoid von $L / K$ , welches bzgl. $K$ endlichdimensional ist. Dann ist die Menge

F (M) := {φ \in Gal (M / K) | φ (P \cap M) = Q \cap M}

nichtleer (wegen des bereits bewiesenen endlichdimensionalen Falls) und bezüglich der Krulltoposmenge abgeschlossen. Die Menge aller solchen $F (M)$ besitzt die endliche Schnittmengeneigenschaft, da man den endlichdimensionalen Fall dieses Satzes auf das Konjunktdivoid endlich vieler $M$ s anwenden kann. Daher ist wegen der Kompaktheit der Krulltoposmenge auch die Schnittmenge aller $F (M)$ 's (wobei $M$ ein beliebiges endlichdimensionales Zwischendivoid wie oben ist) nichtleer, was zu beweisen war. $◻$