Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Noethersche Arithmoide

Satz (Potenz des Radikals ist bei Noetherschen Arithmoniden im Ideal):

Es sei $R$ ein Noethersches Arithmonid, und es sei $I\subset R$ ein Ideal. Dann gibt es ein $n\in \mathbb{N}$, sodass $r(I{)}^n\subseteq I$ gilt.

Beweis: $◻$

Satz (Schnittidealsatz von Krull):

Es sei $R$ ein Noethersches, lokales Arithmonid, und es sei $m\le R$ das maximale Ideal. Dann gilt:

$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{m}^n=\{0\}$.

Aufgaben

1. Es sei $R$ ein Noethersches Arithmonid und $a\in R\setminus \{0\}$. Beweisen Sie, dass $a\notin \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{\sqrt{(a)}}^n$. Hinweis: Als Widerspruch Satz von Nakayama, angewandt auf $(a)$.