Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Primpotenzoidzerlegung

Satz (Existenz der Primpotenzoidzerlegung):

Es sei $M$ ein endlich erzeugter Linearraum bzgl. eines Noetherschen Arithmonids $R$ , und es sei $N \subseteq M$ ein Unterraum. Dann gibt es eine Primpotenzoidzerlegung von $N$ .

Beweis: Da $M$ selbst Noethersch ist, kann man $N$ als die Schnittmenge von lauter Nichtschnitten schreiben. Wir sind also fertig, wenn wir beweisen können, dass jeder Nichtschnitt ein Primpotenzoid ist. Dies ist wie folgt möglich: Zunächst beweisen wir, dass $Nilprim(M/N)$ wenigstens zwei Elemente enthält, wenn $N$ kein Primpotenzoid ist. Angenommen, das wäre nicht der Fall. Wenn $M / N = ⟨ {\overline{x}}_{1}, \dots, {\overline{x}}_{n} ⟩$ ist, so ist

ann (M / N) = ⋂_{j = 1}^{n} ann ({\overline{x}}_{j})

.

Es sei nun $p \in Nilprim(M/N)$ das eine Element. Angenommen, dass für $b \in p$ nicht gilt $b^{n} \in ann ({\overline{x}}_{j})$ für ein hinreichend großes $n$ . Dann können wir die Brucheinführung bzgl. $S = {b^{n} | n \in ℕ}$ durchführen und erhalten, dass $p \in Prim (R_{S})$ , da $M_{S}$ nichttrivial ist, da ${\overline{x}}_{j} / 1$ von $b^{n}$ für jedes $n$ nicht annihiliert wird, ein Widerspruch zu $b \in p$ . Also gilt wegen der Endlichkeit der Schnittmenge $b^{m} \in ann (M / N)$ für hinreichend großes $m$ . Daraus folgt, dass

p = \sqrt{ann (M / N)}

.

Dann ist aber $N$ ein Primpotenzoid, denn jedes $a \in ann (\overline{x})$ (also übersetzt $a x \in N$ ) ist dann in $p$ , wenn $\overline{x} \neq 0$ (d. h. $x \notin N$ ), weil $p$ gerade das eindeutige maximale Element unter den Annihilatoren ist. Dies steht im Widerspruch zur Annahme. Also enthält $Nilprim(M/N)$ zwei verschiedene Elemente $p$ und $q$ . Dann hat aber $M / N$ zwei Unterräume, die jeweils isomorph zu $R / p$ bzw. $R / q$ sind, und deren Schnittmenge wegen z. B. $ann (\overline{x}) = p$ für Elemente des ersteren Unterraumes null ist, und somit war $N$ kein Nichtschnitt, ein Widerspruch. $◻$

Satz (Eindeutigkeitssatz für die Primfaktorzerlegung):

Es sei $R$ ein nullteilerfreies Noethersches Arithmonid der Krulldimension 1, und es sei $I$ ein Ideal von $R$ verschieden von der Null. Dann sind alle Primfaktorzerlegungen von $I$ bis auf Umordnung gleich.

Beweis: Es seien

I = P_{1} \dots P_{n}

und

I = P_{n + 1} \dots P_{n + m}

zwei Primfaktorzerlegungen von $I$ , wobei die $P_{j}$ 's natürlich nicht alle verschieden sein müssen (Primpotenzen werden in dieser Schreibweise ausgeschrieben). $P_{1}$ komme $k$ mal in der ersten Zerlegung vor. Es ist zu zeigen, dass $P_{1}$ mindestens $k$ mal in der zweiten Zerlegung vorkommt. Angenommen, es käme weniger oft vor, dh. die Primpotenz von $P_{1}$ ist in der zweiten Zerlegung niedriger als in der ersten. Die Primpotenzoiden, die $P_{1}$ als Radikal haben, sind zu den anderen Primpotenzoiden koprim, da das gegebene Arithmonid Krulldimension 1 hat. Daher ist das Produkt aus nach Radikal gruppierten Primpotenzoiden gleich der entsprechenden Schnittmenge. Indem man zur zweiten Primfaktorzerlegung noch einmal $P_{1}$ dazumultipliziert, ändert man also folglich nichts, da lediglich statt mit $P_{1}^{k^{'}}$ mit $k^{'} < k$ mit dem Primpotenzoid $P_{1}^{k}$ geschnitten wird. Daher gilt

P_{1} I = I

,

und da $R$ nullteilerfrei ist, impliziert der Satz von Nakayama, dass $I = 0$ , was absurd ist. $◻$

Satz (Charakterisierung der Primfaktoren):

Es sei $R$ ein nullteilerfreies Arithmonid der Krulldimension 1. Es sei ferner $I = P_{1} \dots P_{n}$ die Primfaktorzerlegung von $I$ . Ein Primideal $P$ kommt genau dann in $P_{1}, \dots, P_{n}$ vor, wenn $I \subseteq P$ gilt.

Beweis: Falls $P$ in der Primfaktorzerlegung vorkommt, so gilt sicherlich $I \subseteq P$ . Falls umgekehrt $I \subseteq P$ gilt und $P$ nicht in der Primfaktorzerlegung vorkäme, so könnte man die gegebene Primfaktorzerlegung mit $P$ schneiden und erhielte dadurch eine längere Primfaktorzerlegung im Widerspruch zur Eindeutigkeit. $◻$