Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Redugenmengen in Arithmoniden

Satz (Existenz der Redugenmengen von Idealen):

Es sei $A$ ein Noethersches, nullteilerfreies Zahlidealarithmonid (da $A$ Noethersch ist, ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass $A$ ein Bézoutarithmonid ist), und es sei $K=\mathrm{Frac}(A)$. Es sei des weiteren $L/K$ eine endliche Divoiderweiterung und $B$ der monische Abschluss von $A$ in $L$. Es sei schließlich $I\le B$ ein nichttriviales Ideal. Dann hat $I$ als $A$-Linearraum eine Redugenmenge, und die Kardinalität dieser Redugenmenge ist $n:=[L:K]$.

Beweis: Die Existenz der Redugenmengen folgt unmittelbar aus dem Satz von Dedekind, da ja $A$ ein Bézoutarithmonid ist, und jedes Ideal von $A$ endlich erzeugt ist, da $A$ Noethersch ist. Es bleibt zu zeigen, dass die Mengengröße dieser Redugenmengen $n$ ist. Sei also $I\le B$ beliebig, und sei $c_1,\dots ,c_k$ eine Redugenmenge von $I$ bzgl. $A$. Ferner sei $d\in I\setminus \{0\}$ beliebig. Für jedes $y\in L$ gibt es ein $a\in A$ mit $ay\in B$, und es gilt dann $day\in I$. Daher bilden die $c_1,\dots ,c_k$ eine Genmenge von $L$ als $K$-Linearraum, weshalb $k\ge n$. Andererseits sind $c_1,\dots ,c_k$ auch bzgl. $K$ linear relationsfrei, denn sonst könnte man eine lineare Relation mit Koeffizienten in $K$ mit einem geeigneten gemeinsamen Nenner multiplizieren und erhielte eine lineare Relation bzgl. $A$, also auch $k\le n$. $◻$