Mathematik für Faule: Mehr über Invoide/ Abelsche Invoide

Satz (Beschreibung der Diagonalsummen von endlichen Abelschen Invoiden):

Es sei $G$ ein endliches abelsches Invoid mit $|G|=n$. Dann gibt es genau $n$ viele ebene Diagonalsummen von $G$, die sich bezüglich einer Zerlegung im Sinne des Klassifikationssatzes für endliche Abelsche Invoide explizit darstellen lassen. Alle stammen von eindimensionalen Pfeilzuordnungen.

Beweis: Nach der Klassifikation endlicher Abelscher Invoide gilt

$G\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{k_{1}}\times \cdots \mathbb {Z} /p_{n}^{k_{n}}$

für gewisse Primzahlen $p_{1},\ldots ,p_{n}$ und $k_{1},\ldots ,k_{n}\in \mathbb {N}$.

Betrachten wir zuerst alle Diagonalsummen von $G$, die von eindimensionalen Pfeilzuordnungen herstammen; es wird sich gleich herausstellen, dass dies alle sind. Sei also $\phi :G\to \mathbb {C}$ eine Diagonalsumme, die von einer eindimensionalen Pfeilzuordnung herstammt. Dann ist $\phi :G\to \mathbb {C} ^{\times }$ ein Invoidpfeil, und die Zielmenge von $\phi$ ist im Unterinvoid der $n$-ten Einheitswurzeln enthalten. Folglich impliziert die definierende Eigenschaft der Objektsumme, dass wir die Behauptung nur für die Summanden in obiger Zerlegung von $G$ beweisen müssen, was aber sehr leicht ist.

Von denen gibt es also $n$ viele. Aber es gibt ja nur $n$ viele Konjugationsklassen in $G$, nämlich eine für jedes Element. Daher hat der Raum der Zuordnungen von diesen Klassen nach $\mathbb {C}$ die Dimension $n$. Nun folgt die Behauptung aus dem Orthonormalgenmengensatz von Schur. $\Box$