Mathematik für Faule: Mehr über Invoide/ Abelsche Invoide

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Satz (Beschreibung der Diagonalsummen von endlichen Abelschen Invoiden):

Es sei ein endliches abelsches Invoid mit . Dann gibt es genau viele ebene Diagonalsummen von , die sich bezüglich einer Zerlegung im Sinne des Klassifikationssatzes für endliche Abelsche Invoide explizit darstellen lassen. Alle stammen von eindimensionalen Pfeilzuordnungen.

Beweis: Nach der Klassifikation endlicher Abelscher Invoide gilt

für gewisse Primzahlen und .

Betrachten wir zuerst alle Diagonalsummen von , die von eindimensionalen Pfeilzuordnungen herstammen; es wird sich gleich herausstellen, dass dies alle sind. Sei also eine Diagonalsumme, die von einer eindimensionalen Pfeilzuordnung herstammt. Dann ist ein Invoidpfeil, und die Zielmenge von ist im Unterinvoid der -ten Einheitswurzeln enthalten. Folglich impliziert die definierende Eigenschaft der Objektsumme, dass wir die Behauptung nur für die Summanden in obiger Zerlegung von beweisen müssen, was aber sehr leicht ist.

Von denen gibt es also viele. Aber es gibt ja nur viele Konjugationsklassen in , nämlich eine für jedes Element. Daher hat der Raum der Zuordnungen von diesen Klassen nach die Dimension . Nun folgt die Behauptung aus dem Orthonormalgenmengensatz von Schur.