Mathematik für Faule: Topologie/ Überdeckungsräume

Satz (Ein Weg hat eine eindeutige Faktorisierung über eine Überlagerungssabbildung):

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma :I:=[0,1]\to X$ ein Weg und $p:Y\to X$ eine Überlagerung. Es sei ferner $y_{0}\in Y$ sodass $p(y_{0})=\gamma (0)$. Dann gibt es einen eindeutigen Weg $\lambda :[0,1]\to Y$ sodass $\lambda (0)=y_{0}$ und $p\circ \lambda =\gamma$.

Beweis: Zuerst beweisen wir die Existenz. Für jeden Punkt $x\in \gamma (I)$ gibt es (mindestens) eine randlose Umgebung $U_{x}$, die regulär überlagert ist. Daher gibt es für jedes $t\in I$ ein *in ${\mathit {I}}$* randloses Intervall $J_{t}\subseteq I$, sodass $\gamma (J_{t})$ in einer dieser Mengen $U_{\gamma (t)}$ enthalten ist. Da aber $I$ überdeckungsendlich ist, können wir endlich viele dieser Intervalle auswählen, die zusammen $I$ vollständig überdecken. Diese Intervalle mögen als $J_{1},\ldots ,J_{n}$ bezeichnet werden.

Wir konstruieren nun schrittweise den Weg $\rho$ wie folgt: Auf dem Nullpunkt ist $\rho$ schon vorgegeben. Einer der $J_{k}$ enthält aber nun den Nullpunkt, und da eine randlose Obermenge von $\gamma (J_{k})$ regulär überlagert ist, können wir $\rho$ auf diesem Intervall schon definieren als $\gamma$ verknüpft mit dem Isomorphismus von einer randlosen, regulär überlagerten Obermenge $U$ von $\gamma (J_{k})$ auf die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y_{0}$ enthält. Nun ist aber $I$ zusammenhängend, und man sieht leicht, dass darum das Intervall $J_{k}$, welches wir gerade betrachtet haben, ein anderes der Intervalle $J_{m}$ ($m\neq k$) schneidet. Auf diesem Intervall verfahren wir dann genauso (nur mit einem Punkt der Schnittmenge statt des Nullpunktes), und dann immer so fort, bis $\rho$ auf dem gesamten Intervall $I$ definiert ist. Es ist $\rho$ limestreu, da es auf jeder der randlosen Mengen $J_{k}$ limestreu ist, und $I$ deren Vereinigung ist.

Nun zeigen wir die Eindeutigkeit. Es seien $\rho ,\rho '$ zwei Wege mit den gewünschten Eigenschaften. Die Menge

$S:=\{t\in I|\rho (t)=\rho '(t)\}$

ist eine vollberandete Teilmenge von $I$. Sie ist aber auch randlos, da ihr Komplement vollberandet ist: Wenn $\rho (t)\neq \rho '(t)$, dann wählen wir eine randlose Umgebung $U$ von $\rho (t)$, welche regulär überlagert wird, und die Limestreue von $\rho$ und $\rho '$ impliziert dann, dass beide auf verschiedenen, aber konstanten Schichten der Überlagerung von $U$ verlaufen müssen, weshalb die beiden in einer Umgebung von $t$ voneinander verschieden sind.

Nun ist aber $I$ zusammenhängend und $0\in S$ (also $S\neq \emptyset$), und daher $S=I$. $\Box$

Satz (Eine Deformation kann über eine Überlagerungsabbildung eindeutig faktorisiert werden):

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $p:Y\to X$ eine Überlagerung, $f_{\cdot }:[0,1]\times Z\to X$ eine Deformation von der limestreuen Abbildung $f_{0}:Z\to X$ in die Abbildung $f_{1}:Z\to X$ und $g_{0}:Z\to Y$ eine limestreue Faktorisierung der Abbildung $f_{0}$ über $p$ (d. h. also $p\circ g_{0}=f_{0}$). Dann gibt es eine eindeutige Deformation $g_{\cdot }$ von $g_{0}$ in eine (natürlich ebenfalls eindeutig festgelegte) Abbildung $g_{1}$, sodass $p\circ g_{\cdot }=f_{\cdot }$.

Beweis: Die Deformation $f_{\cdot }$ "besteht" aus vielen einzelnen Wegen $\gamma _{z}(t):=f_{t}(z)$, die einem vorhergehenden Satz gemäß über $p$ eindeutig faktorisiert werden können. Daraus entsteht sofort die Abbildung $g_{\cdot }$ (indem man sie für jedes $z\in Z$ einzeln als Faktorisierung von $\gamma _{z}$ definiert), und es ist nur noch zu zeigen, dass diese Abbildung limestreu ist. Es sei nun $z\in Z$ gegeben. Falls es ein $t\in I$ gibt, sodass $g_{\cdot }$ in $(t,z)$ nicht stetig ist, so gibt es auch ein Infimum über solche $t$. Es werde durch $t_{0}$ bezeichnet. Wenn nun $t_{-1}\in I$ ist mit $t_{-1}<t_{0}$, dann ist $g_{\cdot }$ in $(t_{-1},z)$ stetig; dies wird gleich verwendet. Nun wählen wir eine regulär überlagerte randlose Umgebung $U$ von $f_{t_{0}}(z)$. Wegen der Limestreue von $f_{\cdot }$ und der topologischen Beschreibung des Produktraumes gibt es ein randloses Intervall $J\subseteq I$ und eine randlose Menge $V\subseteq Z$ mit $(t_{0},z)\in J\times V$ und $J\times V\subseteq g_{\cdot }^{-1}(U)$. Wir wählen nun $t_{-1}\in J$, aber $<t_{0}$. Dann können wir $f_{\cdot }$ durch Verknüpfung von $f_{\cdot }$ mit dem Isomorphismus von $U$ auf diejenige Schicht, die $g_{t_{-1}}(z)$ enthält, limestreu faktorisieren, und da jeder einzelne Pfad $t\mapsto g_{t}(z)$ limestreu ist, stimmt diese Fortsetzung mit $g_{\cdot }$ überein. Dann ist aber $g_{\cdot }$ stetig in allen $(t_{1},z)$, wobei $t_{1}\in J$, und dies ist ein Widerspruch. $\Box$