Mathematik für Faule: Topologie/ Distanzen

Dieses Kapitel ist optional!

Definition (Kontraktionszuordnung):

Es sei $(X,d)$ ein Distanzraum. Eine Zuordnung $f:X\to X$ heißt Kontraktionszuordnung genau dann, wenn es $0\leq K<1$ gibt mit

$\forall x,y\in X:d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)$.

Ist der zugrundeliegende Distanzraum Cauchysch, so hat jede Kontraktionszuordnung einen Fixpunkt; anschaulich handelt es sich um das Zentrum des Raumes, zu welchem hin er durch die Zuordnung kontrahiert wird.

Satz (Banachscher Fixpunktsatz):

Es sei $(X,d)$ ein Cauchyscher und Kolmogorovscher Distanzraum und $f:X\to X$ eine Kontraktionszuordnung. Dann besitzt $f$ einen eindeutigen Fixpunkt.

Beweis: Zunächst konstruieren wir den Fixpunkt. Es sei $x_{0}\in X$ beliebig. Wir definieren die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ durch

$x_{n}:=f(x_{n-1})$.

Bei dieser Folge handelt es sich um eine Cauchyfolge, denn für $m>n$ gilt durch wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung und der Potenzsummenformel

$d(x_{n},x_{m})\leq \sum _{k=n}^{m-1}d(x_{k},x_{k+1})\leq \sum _{k=n}^{\infty }K^{k}\leq K^{n}{\frac {1}{1-K}}$;

hierbei ist $K$ die Konstante aus der Definition einer Kontraktionszuordnung. Daher ist $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchyfolge; da aber $(X,d)$ Cauchysch ist, konvergiert diese Folge gegen einen Limes $x_{\infty }$. Behauptung: Dies ist ein Fixpunkt. Beweis:

$d(x_{\infty },f(x_{\infty }))\leq d(x_{\infty },x_{n})+d(x_{n},f(x_{n}))+d(f(x_{n}),x_{\infty })$;

wenn wir uns erinnern, dass ja $f(x_{n})=x_{n+1}$ war, so sehen wir leicht ein, dass jeder der drei Summanden am Ende beliebig klein wird, wenn $n$ hinreichend groß ist. Da $(X,d)$ ein Kolmogorovraum ist, folgt $f(x_{\infty })=x_{\infty }$.

Nun zur Eindeutigkeit: Es sei $y$ ein weiterer Fixpunkt. Dann gilt

$d(x_{\infty },y)\leq Kd(f(x_{\infty }),f(y))=d(x_{\infty },y)$,

und da $K<1$ ist, muss $d(x_{\infty },y)=0$ sein, um einen Widerspruch zu vermeiden. $\Box$

Man kann noch mehr beweisen: Mit der Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert wie oben gilt

$d(x_{n},x_{\infty })\leq d(x_{n},x_{m})+d(x_{m},x_{\infty })\leq K^{n}{\frac {1}{1-K}}+d(x_{m},x_{\infty })$,

also mit $m\to \infty$.

$d(x_{n},x_{\infty })\leq K^{n}{\frac {1}{1-K}}$

Da der Startwert $x_{0}$ beliebig war, gilt folglich

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f^{n}(X)=\{x_{\infty }\}$.

Wendet man also $f$ wieder und wieder auf $X$ an, so wird $X$ auf einen Punkt zusammengeschrumpft.