Mathematik für Faule: Topologie/ Distanzen

Definition (Kontraktionszuordnung):

Es sei $(X,d)$ ein Distanzraum. Eine Zuordnung $f:X\to X$ heißt Kontraktionszuordnung genau dann, wenn es $0\le K<1$ gibt mit

$\mathrm{\forall }x,y\in X:d(f(x),f(y))\le Kd(x,y)$.

Ist der zugrundeliegende Distanzraum Cauchysch, so hat jede Kontraktionszuordnung einen Fixpunkt; anschaulich handelt es sich um das Zentrum des Raumes, zu welchem hin er durch die Zuordnung kontrahiert wird.

Satz (Banachscher Fixpunktsatz):

Es sei $(X,d)$ ein Cauchyscher und Kolmogorovscher Distanzraum und $f:X\to X$ eine Kontraktionszuordnung. Dann besitzt $f$ einen eindeutigen Fixpunkt.

Beweis: Zunächst konstruieren wir den Fixpunkt. Es sei $x_0\in X$ beliebig. Wir definieren die Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ durch

$x_n:=f(x_{n-1})$.

Bei dieser Folge handelt es sich um eine Cauchyfolge, denn für $m>n$ gilt durch wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung und der Potenzsummenformel

$d(x_n,x_m)\le \sum _{k=n}^{m-1}d(x_k,x_{k+1})\le \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{K}^k\le K^n\frac{1}{1-K}$;

hierbei ist $K$ die Konstante aus der Definition einer Kontraktionszuordnung. Daher ist $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchyfolge; da aber $(X,d)$ Cauchysch ist, konvergiert diese Folge gegen einen Limes $x_{\mathrm{\infty }}$. Behauptung: Dies ist ein Fixpunkt. Beweis:

$d(x_{\mathrm{\infty }},f(x_{\mathrm{\infty }}))\le d(x_{\mathrm{\infty }},x_n)+d(x_n,f(x_n))+d(f(x_n),x_{\mathrm{\infty }})$;

wenn wir uns erinnern, dass ja $f(x_n)=x_{n+1}$ war, so sehen wir leicht ein, dass jeder der drei Summanden am Ende beliebig klein wird, wenn $n$ hinreichend groß ist. Da $(X,d)$ ein Kolmogorovraum ist, folgt $f(x_{\mathrm{\infty }})=x_{\mathrm{\infty }}$.

Nun zur Eindeutigkeit: Es sei $y$ ein weiterer Fixpunkt. Dann gilt

$d(x_{\mathrm{\infty }},y)\le Kd(f(x_{\mathrm{\infty }}),f(y))=d(x_{\mathrm{\infty }},y)$,

und da $K<1$ ist, muss $d(x_{\mathrm{\infty }},y)=0$ sein, um einen Widerspruch zu vermeiden. $◻$

Man kann noch mehr beweisen: Mit der Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert wie oben gilt

$d(x_n,x_{\mathrm{\infty }})\le d(x_n,x_m)+d(x_m,x_{\mathrm{\infty }})\le K^n\frac{1}{1-K}+d(x_m,x_{\mathrm{\infty }})$,

also mit $m\to \mathrm{\infty }$.

$d(x_n,x_{\mathrm{\infty }})\le K^n\frac{1}{1-K}$

Da der Startwert $x_0$ beliebig war, gilt folglich

$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{f}^n(X)=\{x_{\mathrm{\infty }}\}$.

Wendet man also $f$ wieder und wieder auf $X$ an, so wird $X$ auf einen Punkt zusammengeschrumpft.