Mathematik für Faule: Topologie/ Fraktale

Beispiel (Die Teufeltreppe):

Wir werden im Folgenden fünf verschiedene Definitionen einer bestimmten Abhängigen $t(x)$ kennenlernen. Diese Abhängige heißt die Teufeltreppe. Es handelt sich dabei um eine Abhängige, die überall bis auf einer Nullmenge die Steigung null besitzt, aber dennoch im Einheitsintervall von $0$ nach $1$ ansteigt. Sie geht auf Georg Cantor zurück, der sie 1884 veröffentlichte.

Die Zielmengen des Einheitsquadrates unter den gegebenen Abhängigen

Um zu zeigen, dass die Definitionen alle auf dieselbe Abhängige herauskommen, verwenden wir den Eindeutigkeitssatz für durch Abhängigentupel definierte Fraktale. Das relevante Abhängigentupel besteht aus den wie folgt gegebenen Abhängigen $F_{1}$, $F_{2}$ und $F_{3}$:

1. $F_{1}(x,y):=\left({\frac {x}{3}},{\frac {y}{2}}\right)$
2. $F_{2}(x,y):=\left({\frac {x}{3}}+{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right)$
3. $F_{3}(x,y):=\left({\frac {x}{3}}+{\frac {2}{3}},{\frac {y}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)$

Es folgt nun eine Liste mit den Definitionen, sowie der Begründung, warum die entsprechende Definition ein zum Abhängigentupel gehöriges Fraktal ist.

1. Die erste Definition ist gegeben durch die folgende Vorgehensweise: Gegeben sei ein $x\in [0,1]$. Wir drücken dieses in Ternärsystem als eine Zahl mit den Ziffern $0$, $1$ und $2$ aus. Falls in diesem Ausdruck irgendeine $1$ vorkommt, ersetzen wir alles, was hinter dieser $1$ folgt, durch Nullen. Alle übrigen Zweien werden durch Einer ersetzt. Das Resultat ist dann $t(x)$. Zur Begründung, warum diese Konstruktion (also der Graph der Abhängigen $t$) durch das gegebene Abhängigentupel beschrieben wird: Ist z. B. $(a,b)$ im Graphen von $t$, so wird $F_{1}$ alle Stellen von $a$ im Ternärsystem um eins nach hinten verschieben, und bei $b$ wird ebenso verfahren. Aber $t$ ist ja nach der ersten Definition so definiert, dass das kommutiert. Bei $F_{2}$ wird eine Eins vorne drangehängt, und nach Definition (insb. der Regel mit der Eins) ist dann auch $F_{2}(a,b)$ im Graphen. Bei $F_{3}$ kommt die Regel des Ersetzens der $2$ durch die $1$ ins Spiel. Wir erhalten aber auch für die erste Komponente beliebige Werte.

2. 

   Die zweite Definition

   Die zweite Definition ist wie in nebenstehendem Bild dadurch gegeben, dass man mit einem Strich der Länge $1/3$ in der Mitte beginnt und die Lücken mit Kopien der Strichabhängigen ausfüllt. Dadurch steigt der Definitionsbereich der Abhängigen immer weiter an; dass er am Ende das Einheitsintervall ausfüllt, geht auch aus dem Eindeutigkeitssatz sowie etwa der vorangegangenen Definition hervor, denn auch die zweite Definition erfüllt das Abhängigentupel: Beginnt man mit der Einstrichabhängigen, so führt man ja gerade die Fixelementiteration durch (mit mengentheoretisch irrelevanten Dopplungen).

3. 

   Die dritte Definition

   Die dritte Definition ist als Limes einer Abhängigenfolge. Wir definieren $f_{0}(x):=x$ und $f_{n+1}$ aus $f_{n}$ je nachdem, wo $x$ ist: Für $0\leq x\leq 1/3$ setzen wir $f_{n+1}:=1/2f_{n}(3x)$, für $1/3\leq x\leq 2/3$ setzen wir $f_{n+1}(x):=1/2$, und für $2/3\leq x\leq 1$ setzen wir $f_{n+1}=1/2+1/2f_{n}(3x-2)$; iterativ zeigt man $f_{n}(1)=1$ und $f_{n}(0)=0$ für alle $n$, sodass diese Definition keine Widersprüche ergibt. In der Abbildung rechts sind die ersten Stufen dieser Konstruktion gezeigt. Es wird dann $t(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ gesetzt. Mit Fallunterscheidung folgt $\|f_{n+1}-f_{n}\|_{[0,1]}\leq 1/2\|f_{n}-f_{n-1}\|_{[0,1]}$, weshalb der Limes sogar gleichmäßig existiert. Mit Limesübergang folgt z. B. aus der ersten Gleichung $t(x)=1/2t(3x)$ für $0\leq x\leq 1/3$, und dies ist gerade der erste Abschnitt, wenn $F_{1}$ angewandt wurde. Für $F_{2}$ und $F_{3}$ wird analog verfahren, wir erhalten alle Abschnitte.
4. Es sei $D:=\ln(2)/\ln(3)$ die Hausdorff-Dimension der Cantormenge $C$. Dann beschreibt die vierte Definition die Teufeltreppe als $t(x):=H_{D}(C\cap (0,x))$. Gemäß der Selbstähnlichkeit von $C$ gilt etwa $t(x/3)=H_{D}(C\cap (0,x/3))=H_{D}(1/3(C\cap (0,x)))$, und jetzt können wir die Skalierungseigenschaft des Hausdorff-Maßes anwenden und erhalten $H_{D}(1/3(C\cap (0,x)))=(1/3)^{D}H_{D}(C\cap (0,x))=1/2t(x)$, also wieder $t(x)=1/2t(3x)$ für $0\leq x\leq 1/3$. Analog können wir auch für die anderen Abschnitte verfahren.
5. Die fünfte Definition verfährt in zwei Schritten: Für $x=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}/3^{n}$ mit $a_{n}\in \{0,2\}$ in der Cantormenge $C$ setzen wir $t(x):=\sum _{n=1}^{n}(a_{n}/2)/2^{n}$. Für $x\notin C$ setzen wir dann $t(x):=\sup _{y\in C,y\leq x}t(y)$. Auf der Cantormenge prüft man leicht, dass $F_{1},F_{2},F_{3}$ die so definierte Abhängige in sich selbst überführen. Dazwischen gilt etwa $\sup _{y\in C,y\leq x/3}t(y)=\sup _{y\in C,y\leq x}1/2t(y)$ mit der Gleichung $t(y/3)=1/2t(y)$ für $y\in C$. Wir schließen wieder, da die Abschnitte zusammen das Einheitsintervall ergeben.