Mathematik für Faule: Topologie/ Hausdorff-Distanz und Pompeiu-Räume

Definition (Punkt-Menge-Distanz):

Es sei $(X,d)$ ein Distanzraum, es sei $A\subseteq X$ beliebig, und es sei $x\in X$ beliebig. Die Distanz von $x$ zu $A$ ist definiert als

$d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y)$.

Definition (Hausdorff-Distanz):

Es sei $(X,d)$ ein Distanzraum, und es seien $A,B\subseteq X$ beliebig. Die Hausdorff-Distanz von $A$ und $B$ ist dann gegeben durch

$d_{H}(A,B):=\max \left\{\sup _{x\in A}d(x,B),\sup _{y\in B}d(y,A)\right\}\in [0,\infty ]$.

Satz (Der Name "Hausdorff-Distanz" ist gerechtfertigt):

Es sei $(X,d)$ ein Distanzraum. Dann ist $d_{H}$ eine Distanz auf $2^{X}$.

Beweis: Die Symmetrie ist offensichtlich, daher müssen wir nur die Dreiecksungleichung beweisen. Diese aber folgt aus der leicht zu beweisenden Ungleichung

$d(x,C)\leq d(x,B)+d_{H}(B,C)$. $\Box$

Satz (Charakterisierung von Hausdorff-Distanz null):

Es sei $(X,d)$ ein Distanzraum, und $A,B\subseteq X$ seien beliebig. Dann gilt

$d_{H}(A,B)=0\Leftrightarrow {\overline {A}}={\overline {B}}$.

Beweis: Falls $d_{H}(A,B)=0$, so gilt z. B. für jedes $x\in A$, dass $d(x,B)=0$, woraus aber $x\in {\overline {B}}$ folgt (jede Schnittmenge von $B_{\epsilon }(x)$ mit $B$ ist nichtleer). Falls andererseits $d_{H}(A,B)>0$, so ist oBdA. $d(x,B)>\epsilon$ für ein $\epsilon >0$, und somit $x\notin {\overline {B}}$.

Daher sind die beiden Aussagen äquivalent, da sie immer zusammen auftreten. $\Box$

Definition (Pompeiu-Räume):

Es sei $(X,d)$ ein Distanzraum. Als Pompeiu-Räume definieren wir die folgenden Mengen, jeweils mit der Hausdorff-Distanz:

1. ${\mathcal {V}}(X):=\{A\subseteq X|A{\text{ vollberandet}}\}$
2. ${\mathcal {B}}(X):=\{B\subseteq X|B{\text{ vollberandet und beschränkt}}\}$
3. ${\mathcal {K}}(X):=\{C\subseteq X|C{\text{ ü-endlich}}\}$

Es gilt offensichtlich ${\mathcal {K}}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X)\subseteq {\mathcal {V}}(X)$. Des weiteren folgt aus $d_{H}(A,B)=0\Leftrightarrow {\overline {A}}={\overline {B}}$, dass die Hausdorff-Distanz auf all diesen Räumen unterscheidend ist.

Satz (Maximum-Ungleichung):

Es seien $(A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ und $(B_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ zwei Familien von Teilmengen eines Distanzraumes $(X,d)$, die über dieselbe Indexmenge indiziert sind. Dann gilt

$d_{H}\left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda },\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\right)\leq \sup _{\lambda \in \Lambda }d_{H}(A_{\lambda },B_{\lambda })$.

Beweis: OBdA. können wir annehmen, dass das Maximum in der Definition von $d_{H}\left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda },\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\right)$ vom ersten Eintrag angenommen wird. Also können wir $x\in \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }$ wählen, sodass $d\left(x,\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\right)$ beliebig nahe an $d_{H}\left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda },\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\right)$ herankommt.

Dann gibt es aber ein $\lambda _{0}\in \Lambda$ mit $x\in A_{\lambda _{0}}$. Daher, und wegen $d(x,B_{\lambda _{0}})\geq d\left(x,\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\right)$ gilt die gewünschte Schranke. $\Box$

Satz (Vererbung der Limesexistenz an die Hausdorff-Distanz):

Es habe $(X,d)$ alle Limites. Dann haben auch alle Pompeiu-Räume bezüglich $X$ alle Limites.

Beweis: Es sei $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem der Pompeiu-Räume. Zuerst behandeln wir den Fall, dass $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ absteigend ist, d. h. also $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \ldots$. $\Box$

Aufgaben

1. 1. Es sei $(X,d)$ ein unbeschränkter Distanzraum. Für welche Teilmengen $A\subseteq X$ gilt $d_{H}(A,B)=\infty$ für alle beschränkten $B\subseteq X$? Für welche $d_{H}(A,B)<\infty$ für alle beschränkten $B\subseteq X$?
   2. Finden Sie einen Distanzraum $(X,d)$ und eine Teilmenge $A\subseteq X$, sodass für überabzählbar viele $B\subseteq X$ die Gleichung $d_{H}(A,B)=\infty$ gilt.