Mathematik für Faule: Topologie/ Konvexe Zuordnungen

Satz (Supremumsdarstellung nichtlimessenkender, konvexer Zuordnungen):

Es sei $\varphi :V\to [-\infty ,\infty ]$ konvex und nichtlimessenkend. Dann gilt

$\varphi =\sup _{g\leq \varphi \atop g{\text{ linear}}}g$.

Beweis: Die Epimenge einer nichtlimessenkenden Zuordnung ist stets vollberandet. Daher kann auf diese Epimenge als Teilmenge des Linearitätsraumes $V\times \mathbb {R}$ der Halbraumschnittmengensatz angewendet werden. Da eine Epimenge durch Hinzunahme oder Wegnahme von vertikal verlaufenden Halbräumen, welche sie enthalten, nicht verändert wird, folgt die Behauptung. $\Box$

Satz (Die Bilegendre-Transformation ordnet konvexe, nichtlimessenkende Zuordnungen sich selbst zu):

Es sei $\varphi :V\to [-\infty ,\infty ]$ konvex und nichtlimessenkend. Dann gilt $\varphi ^{**}=\varphi$.

Ein analoger Satz gilt für die Fenchel-Transformation und ein konkaves, nichtlimessteigerndes $\varphi$.

Beweis: Da $\varphi$ konvex und nichtlimessenkend ist, gilt

$\varphi =\sup _{g\leq \varphi \atop g{\text{ linear}}}g\Leftrightarrow -\varphi =\inf _{g\leq \varphi \atop g{\text{ linear}}}-g$.

Dann gilt mit den Rechenregeln für die Legendre-Transformation:

${\begin{aligned}\varphi ^{**}&=\sup _{v^{*}\in V^{*}}\left(\langle v^{*},v\rangle -\varphi ^{*}(v^{*})\right)\\&=\sup _{v^{*}\in V^{*}}\left(\langle v^{*},v\rangle +(-\varphi )^{*}(-v^{*})\right)\\&=\sup _{v^{*}\in V^{*}}\left(\langle v^{*},v\rangle +\sup _{g\leq \varphi \atop g{\text{ linear}}}(-g)^{*}(-v^{*})\right)\\&=\sup _{g\leq \varphi \atop g{\text{ linear}}}\sup _{v^{*}\in V^{*}}\left(\langle v^{*},v\rangle +\overbrace {(-g)^{*}(-v^{*})} ^{=-g^{*}(v^{*})}\right)\end{aligned}}$.

Es ist jedoch leicht nachzurechnen, dass die Bilegendre-Transformation eine lineare Funktion zu sich selbst zuordnet. $\Box$