Mathematik für Faule: Wahrscheinlichkeitstheorie/ Unabhängigkeit

Definition (Unabhängigkeit von zwei Ereignissen):

Zwei Ereignisse $A,B$ heißen unabhängig voneinander genau dann, wenn $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ gilt.

Satz (Komplemente sind unabhängig):

Es seien $A,B$ unabhängig. Dann sind auch $A$ und $B^{c}$ unabhängig (und somit nach Änderung der Belegung auch $A^{c}$ und $B^{c}$).

Beweis: $P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B^{c})$. $\Box$

Definition (Unabhängigkeit von mehreren Ereignissen):

Es seien $A_{1},\ldots ,A_{n}$ Ereignisse. Diese heißen unabhängig genau dann, wenn für jedes $j\in \mathbb {N}$ das Ereignis $A_{j}$ von allen Ereignissen in $\sigma (A_{1},\ldots ,A_{j-1},A_{j+1},\ldots ,A_{n})$ unabhängig ist.

Satz (Standardkriterium für die Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse):

Ereignisse $A_{1},\ldots ,A_{n}$ sind unabhängig voneinander genau dann, wenn für alle endlichen Folgen $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ die Gleichung

$P(A_{j_{1}}\cap A_{j_{2}}\cap \cdots \cap A_{j_{k}})=P(A_{j_{1}})P(A_{j_{2}})\cdots P(A_{j_{k}})$

erfüllt ist.

Beweis: Sei zunächst das Standardkriterium erfüllt. Da Komplemente ebenfalls unabhängig sind, erhalten wir Gleichungen der Art

$P(A_{j_{1}}\cap A_{j_{2}}^{c}\cap A_{j_{3}}\cap \cdots \cap A_{j_{k}})=P(A_{j_{1}})P(A_{j_{2}}^{c})\cdots P(A_{j_{k}})$,

wobei jedes $A_{l}$ beliebig ein c haben kann, oder nicht. Wenn wir jetzt $j_{1},\ldots ,j_{k}=1,2,\ldots ,n$ wählen, dann sehen wir so, dass wir genaue Formeln für die Wahrscheinlichkeiten aller Mengen in $\sigma (A_{1},\ldots ,A_{n})$ haben, denn diese Ereignismenge besteht ja ausschließlich aus disjunkten Vereinigungen von Mengen der Art

$A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}\cap A_{4}\cap ...$ (wieder mit beliebig verteilten c).

Somit folgt die gewünschte Unabhängigkeitseigenschaft aus der Distributivität der normalen Multiplikation.

Die andere Richtung ist durch iterative Deduktion leicht nachzuweisen. $\Box$