Mathematik für Faule: Zahlentheorie/Der Satz von Euklid–Alhasen–Euler

Satz ():

Beweis: Für die andere Richtung schreiben wir $n=2^{k}x$ mit $(x,2)=1$. Dann lautet die Bedingung dafür, dass $n$ perfekt ist, wie folgt:

$\sigma (2^{k}x)=\sigma (2^{k})\sigma (x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x){\overset {!}{=}}2^{k+1}x$.

In der letzten Gleichung sind aber $2^{k+1}-1$ und $2^{k+1}$ teilerfremd, weshalb die folgende Gleichung ganzzahlig ist:

${\frac {\sigma (x)}{2^{k+1}}}={\frac {x}{2^{k+1}-1}}=:m$, somit ${\frac {\sigma (m(2^{k+1}-1))}{2^{k+1}}}=m$.

Aber die Summe $\sigma (m(2^{k+1}-1))$ ist mindestens $m(2^{k+1}-1)+m+(2^{k+1}-1)+1=(m+1)2^{k+1}$, es sei denn $m=1$ und $2^{k+1}-1$ ist eine Primzahl. $\Box$