Mathematikunterricht/ Sek/ Übersicht über die geläufigsten Funktionen

Für dieses Kapitel ist es wichtig fundierte Kenntnisse der kartesischen Koordinatengeometrie und Grundkenntnise der Algebra zu besitzen.

Die Analysis wird hier zum größten Teil eine reelle Analysis sein, also wir werden wenig mit komplexen Zahlen arbeiten. Wo dies der Fall sein wird, wird dies hervorgehoben.

Die einzelnen Unterpunkte werden so gestaltet, dass sie unabhängig voneinander sind, leider wird es so einige Wiederholungen geben. Dies ist aber nicht dramatisch, da sie zur Festigung der wichtigsten Punkte beitragen.

Reelle Funktionen

Definition

Eine Funktion ist eine Abbildung wobei jedem x aus einer Definitionsmenge D genau einem(!) y aus einer Wertemenge W zugeordnet wird. Ihr Bild nennt man den Graph.

Schreibweisen

Für Funktionen gibt es eine Vielzahl von Schreibweisen, hier die häufigsten drei:

(1) $f(x)=y$ lies: f von x ist gleich y.

(2) $f:x\mapsto y$ lies: Funktion f deren x auf y abgebildet werden

(3) $y=.......$ lies: y ist gleich ......

Im folgenden wird eine kurze Übersicht über die geläufigsten Funktionen gegeben. Für genaue bzw. ausführlichere Behandlung der Funktionsklassen sei bitte in der Algebra nachzulesen.

Die lineare Funktion

Definition

Die lineare Funktion wird durch die Gleichung $f:x\mapsto mx+b$ beschrieben. Ihr Graph ist eine Gerade. Hierbei ist m die Steigung der Geraden und b der y-Achsenabschnitt.

Eine ebenfalls übliche Darstellung der Funktionsgleichung ist $f(x)=mx+b\,$ oder wenn man berücksichtigt, dass lineare Funktionen zur Klasse der Ganzrationalen Funktionen gehören $f(x)=a_{1}x+a_{0}\,$.

Die Umkehrung ist nicht immer zutreffend, denn eine zur Ordinatenachse parallele Gerade ist nicht Graph einer Funktion $f:x\mapsto mx+b$.

Die quadratische Funktion

Definition I (Polynomform)

Die quadratische Funktion wird durch die Gleichung f(x)=ax²+bx+c, $a\neq 0$ beschrieben. Ihr Graph ist eine Parabel. Hierbei ist a der Formfaktor. Ist $0<|a|<1$ so ist die Parabel gestaucht. Ist $|a|>1$ so ist die Parabel gestreckt. Ist $a<0$ so ist die Parabel nach unten offen, sonst nach oben.

Definition II (Normalform)

Die quadratische Funktion heißt normiert, wenn gilt a=1. Sie wird durch die Gleichung f(x)=x²+px+q beschrieben. Ihr Graph ist die Normalparabel.

Definition III (Scheitelpunktform)

Eine quadratische Funktion die durch f(x)=a(x-u)²+v beschrieben wird ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei P( u | v ).

Definition IV (Linearfaktorform)

Existieren von einer Quadratischen Gleichung reelle Nullstellen, so kann sie in der Form f(x)=$a(x-x_{1})(x-x_{2})$ beschrieben werden. Wobei $x_{n}$ eine Nullstelle von f ist.

Die ganzrationale Funktion

Eine Funktion der Form f(x)=$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}$=$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ heißt ganzrationale Funktion wenn $n,i\in \mathbb {N} _{0}$ und $a_{i}\in \mathbb {R}$.

Die gebrochenrationale Funktion

Eine Funktion die sich in der Form f(x)=${\frac {u(x)}{v(x)}}$=${\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+....+b_{1}x+b_{0}}}$=${\frac {\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}{\sum _{k=0}^{m}b_{k}x^{k}}}$

darstellen lässt heißt gebrochenrationale Funktion, wenn gilt $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ und $a_{i},b_{k}\in \mathbb {R}$.