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Das Urnenmodell

Manche Zufallsexperimente können mit dem Ziehen von unterscheidbaren Kugeln aus einem Gefäß, Urne genannt, modelliert werden. In der Urne befinden sich n Kugeln, von denen k gezogen werden.

Das Ziehen kann auf zwei verschiedene Arten erfolgen

Eine Kugel wird gezogen und wieder zurückgelegt.

Das entspricht dem Urnenmodell mit Zurücklegen

Nach dem Ziehen der Kugel wird diese nicht wieder zurückgelegt.

Das entspricht dem Urnenmodell ohne Zurücklegen

Betrachten wir das Zufallsexperiment "Dreimaliger Münzwurf", so kann man stattdessen auch aus einer Urne mit 2 verschiedenen Kugeln drei mal jeweils eine ziehen und wieder zurücklegen.

Einige Beispiele sollen nun die Vorzüge des Urnenmodells aufzeigen.

Zufallsexperiment	Urnenmodell
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligem Würfeln jeweils eine 6 zu werfen?	Urne mit 6 Kugeln, nummeriert von 1 bis 6 zweimal Ziehen mit Zurücklegen. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: $P(66)={\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}\approx 0,028$
In einer Klasse mit 25 Schülern haben 10 Schüler die Hausaufgaben nicht gemacht. Der Lehrer kontrolliert zufällig einen Schüler. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt er jemanden, der die Hausaufgaben nicht gemacht hat?	Urne mit 25 Kugeln, 15 weiße (w) und 10 schwarze (s). Einmal Ziehen ohne Zurücklegen. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: $P(s)={\frac {10}{25}}={\frac {2}{5}}=0,4$
Von den 120 Schülern einer Oberstufe sind 15% Jungen. Zwei Schüler werden für die Teilnahme an einem Wettbewerb ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Jungen sind?	Urne mit 120 Kugeln. 102 weiße Kugeln für Mädchen (M) und 18 schwarze Kugeln für Jungen (J). Zweimal Ziehen ohne Zurücklegen. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: $P(JJ)={\frac {18}{120}}\cdot {\frac {17}{119}}={\frac {306}{14.280}}\approx 0,021$
Ein Statistisches Institut will ermittelt haben, dass bei 53% aller Geburten das Baby männlichen Geschlechtes ist. Wie groß ist danach die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mutter aufeinanderfolgend 2 Jungen zur Welt bringt?	Urne mit 100 Kugeln. 53 blaue für Jungen (J) und 47 rosa für Mädchen (M.) Zweimal Ziehen mit Zurücklegen Gesuchte Wahrscheinlichkeit: $P(JJ)={\frac {53}{100}}\cdot {\frac {53}{100}}={\frac {2809}{10.000}}\approx 0,2809$
Möglicherweise ist nicht unmittelbar klar, warum dieses Zufallsexperiment durch zweimal Ziehen mit Zurücklegen simuliert werden kann. Man kann sich das so vorstellen, dass die Mutter immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung Kinder zur Welt bringt. Das bedeutet, nach jeder Geburt herrscht wieder die gleiche Ausgangssituation. Das wird mit dem Zurücklegen der Kugel simuliert. Eine ganz andere Situation herrscht vor, wenn man von z.B. 100 neugeborenen Kindern ausgeht von denen 53% Jungen sind. Wählt man zufällig 2 Kinder aus, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man genau zwei Jungen ausgewählt hat: $P(JJ)={\frac {53}{100}}\cdot {\frac {52}{99}}\approx 0,2784$ Das entspräche dem Ziehen ohne zurücklegen.

Bei der Herstellung von Tongefäßen geht man davon aus, dass 20% Ausschuss produziert wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Herstellung von 3 Gefäßen genau 2 brauchbar sind?

Modell

Urne mit 8 grünen Kugeln (brauchbar) und 2 roten Kugeln (Ausschuss).

Dreimaliges ziehen mit zurücklegen.

Ereignis A: Zwei von drei gefertigten Gefäßen sind brauchbar.

Über das Baumdiagramm erhält man die Ergebnismenge.

$S=\{ggg;ggr;grg;rgg;rrg;rgr;grr;rrr\}\,$

Die Ereignismenge lautet:

$A=\{ggr;grg;rgg\}\,$

$P(g)={\frac {8}{10}}=0{,}8$   $P(r)={\frac {2}{10}}=0{,}2$   $P(gg)=0,8\cdot 0{,}8$   $P(ggr)=0{,}8\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2$

$P(A)=P(ggr)+P(grg)+P(rgg)=0{,}8^{2}\cdot 0{,}2+0{,}8\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8+0{,}2\cdot 0{,}8^{2}=3\cdot 0{,}8^{2}\cdot 0{,}2=0{,}384$

Weitere Beispiele zum Urnenmodell