Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Spezielle Matrizen

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Spezielle Matrizen[Bearbeiten]

Vektoren[Bearbeiten]

  • Eine -Matrix ist ein Spaltenvektor.
  • Eine -Matrix ein Zeilenvektor.
  

Vektoren werden i.a. kleinbuchstabig bezeichnet und häufig, vor allem im physikalischen Kontext, mit einem Pfeil hervorgehoben. Meistens geht man bei einem Vektor von einem Spaltenvektor aus und betrachtet den Zeilenvektor als transponierten Spaltenvektor, z.B.

  

Skalar[Bearbeiten]

Ein Skalar ist eine Matrix mit nur einem Element:

.

Ein Skalar kann wie eine reelle Zahl behandelt werden.

Transponierte Matrix von der Matrix [Bearbeiten]

Die Transponierte der Matrix

ist die Matrix

.

Die te Zeile von wird die te Spalte von .

Es gilt :.


Beispiel:

.

Quadratische Matrix [Bearbeiten]

hat Zeilen und Spalten.


Beispiel:

.


Diagonalmatrix [Bearbeiten]

Diese Matrix ist von der Ordnung und besitzt nur auf der Hauptdiagonalen Elemente ungleich Null.

.


Beispiel:

.


Ein Spezialfall der Diagonalmatrix ist die Einheitsmatrix, die auf der Hauptdiagonalen nur Einsen hat.


Beispiel:

.

Die Diagonalmatrix ist die Entsprechung der Eins im Matrizenkalkül: .

Matrix mit Trapezgestalt[Bearbeiten]

Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind 0 und die untersten Zeilen können auch Nullzeilen sein.


Beispiele:

  


Dreiecksmatrix[Bearbeiten]

Obere Dreiecksmatrix : Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind . ist ein Spezialfall der Trapezmatrix.

Beispiel:

.


Untere Dreiecksmatrix: Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind 0.

Beispiel:

.


Ein Spezialfall der Dreiecksmatrix ist die Diagonalmatrix


Symmetrische Matrix [Bearbeiten]

Die te Zeile ist gleich der ten Spalte. Es gilt

bzw.

.

Die Elemente der Matrix spiegeln sich bezüglich der Hauptdiagonalen.


Beispiel:


Nullmatrix [Bearbeiten]

Die Nullmatrix enthält nur Nullen. Sie entspricht der Null mit Matrizenkalkül:

.

Allerdings kann die Nullmatrix auf der linken Seite der obigen Gleichung eine andere Dimension haben als die auf der rechten Seite.


Beispiel:


Inverse Matrix [Bearbeiten]

Als bezeichnet man die zur ()-Matrix inverse Matrix, wobei invertierbar sein muss. Es gilt dann

.

Im Matrizenkalkül bezeichnet also das zu inverse Element.


Beispiel:

Die Inverse zu

ist


Die Probe ergibt .

Näheres folgt demnächst im Kapitel Inverse einer Matrix

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