Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Rechenregeln für Matrizen

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Rechenregeln für Matrizen[Bearbeiten]

Größenrelationen[Bearbeiten]

Gegeben sind die Matrizen und mit den Elementen und , . Es ist

, falls für alle

und

, falls für alle

Entsprechendes gilt auch für . Vergleiche sind nur für Matrizen gleicher Ordnung definiert.

Addition und Subtraktion[Bearbeiten]

Wir hatten schon im Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen aus dem Kapitel Matrizenrechnung Matrizen addiert:


Es gilt also:

Gegeben sind , und . Es soll sein bzw.

.

Es werden also zwei Matrizen addiert, indem ihre entsprechenden Elemente addiert werden. Es können nur Matrizen gleicher Ordnung addiert werden.


Beispiel:


Entsprechend berechnet sich die Subtraktion.

Beispiel:

Multiplikation[Bearbeiten]

Multiplikation mit einem Skalar[Bearbeiten]

Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen aus Matrizenrechnung:

Was ergäbe sich, wenn sich im nächsten Jahr der Verbrauch aller Firmen verdoppelt hätte?



Wird eine Matrix mit einem Skalar multipliziert, werden alle Elemente mit multipliziert:

Beispiel:


Multiplikation zweier Matrizen[Bearbeiten]

Beispiel 1: Planung für Kuchenbacken[Bearbeiten]

Tante Erna leitet eine kleine Bäckerei, die an 2 Cafés liefert. Sie backt vor allem Biskuitböden, Rührkuchen und Mürbteigböden. Um sich (und uns) die Arbeit zu vereinfachen, hat Erna die Zutaten für die Kuchen in „Eischwer“ umgerechnet (eine altbekannte Faustregel aus der Zeit meiner Oma). Es werden also die Zutaten Mehl, Zucker und Butter in Gewichtseinheiten eins Eies (ca. 50 g) umgerechnet. Es folgt die Tabelle der Zutaten.

Produkt Biskuitteig Rührteig Mürbteig
Produktionsfaktoren kurz: B R M
Ei E 5 4 1
Mehl Me 3 4 6
Zucker Z 4 4 2
Butter Bu 0 4 4

Um damit rechnen zu können, fassen wir nun die Rezeptdaten in einer so genannten Produktionsmatrix zusammenfassen:

.

Die grünen Buchstaben dienen nur zur Veranschaulichung, damit wir nicht vergessen, dass wir es hier mit realen Dingen zu tun haben und damit wir uns anfangs etwas leichter tun.

Ein Element gibt also die Menge des Inputs an, die für eine Einheit des Gutes benötigt wird. Es werden beispielsweise für einen Biskuitteig 4 Eischwer Zucker benötigt, allgemein ausgedrückt - für das Produkt 4 Einheiten der Zutat .

Tante Erna hat für kommenden Samstag folgende Bestellungen,

Café1 Café2
C1 C2
Biskuitböden 3 5
Rührkuchen 5 8
Mürbteigböden 2 1

in der Matrix zusammengefasst:

.

Wieviel Zutaten muss Tante Erna für die Bestellungen einkaufen? Intuitiv denken wir, natürlich "Zutaten * bestellter Menge". Also schreiben wir

bzw. ausführlich und wieder mit den grünen Symbolen zur Orientierung

Nun arbeiten wir die Matrix der Rohstoffe elementweise ab:

ist die Zahl der Eier für Café1:

  • Für einen Biskuitboden braucht Erna 5 Eier. Es wurden 3 Böden bestellt, also Eier.
  • Für einen Rührkuchen braucht Erna 4 Eier, bei 5 Kuchen also Eier.
  • Für einen Mürbteig braucht Tante Erna 1 Ei, bei 2 Böden also Eier.

Wir rechnen das jetzt mit den Matrizen und aus, wobei wir die nicht benötigten Matrixelemente ausblenden.

.

Man könnte etwas lieblos sagen: Die erste Zeile von wird mit der ersten Spalte von multipliziert. Etwas präziser lautet das: Die erste Zeile von wird elementweise mit der ersten Spalte von multipliziert. Die Produkte werden dann aufaddiert.

.

Entsprechend erhalten wir die Zahl der Eier für Café2, also "die erste Zeile von wird mit der zweiten Spalte von multipliziert"

.
.

Wir kommen nun zur benötigten Menge Mehl:

Mehl für Café1:

.
.

Mehl für Café2:

.


.

Wir fahren nach dem obigen Schema fort. Bitte verfolgen Sie anhand von und die Berechnungen weiter.

Zucker für Café1:

.

Zucker für Café2:

.

Butter für Café1:

.

Butter für Café2:

.

Für die Matrix der benötigten Rohstoffe erhalten wir also

.
Beispiel 2: Beschaffung von Produktionsmitteln[Bearbeiten]

Dieses Beispiel ist ein wenig allgemeiner als das obige.

Zwei Unternehmen U1 und U2 mit gleichem Produktangebot stellen drei Produkte x, y, z her. Dazu benötigen sie die Produktionsfaktoren a, b, c. Die Inputmengen, die für die Herstellung einer Einheit von x, y oder z benötigt werden, sind in der Produktionsmatrix

und das aktuelle Produktionsprogramm der Unternehmen in der Matrix

angegeben. Beispielsweise werden für die Produktion einer Einheit von x 2 Stück des Gutes c benötigt. Wir suchen die Menge von Produktionsfaktoren , die für das Produktionsprogramm beschafft werden müssen.

Es ergibt sich

als

Wir multiplizieren:

und erhalten

Beispiele ohne Sachbezug[Bearbeiten]

Nun wollen wir zwei Matrizen multiplizieren, ganz abstrakt, ohne Plätzchen und Zuckerguss:

.

Auch hier gehen wir - analog zu oben - so vor:

Für das Element multiplizieren wir die erste Zeile von mit der ersten Spalte von , was natürlich schlampig ausgedrückt ist und bedeutet, dass wir die erste Zeile von elementweise mit der ersten Spalte von multiplizieren und die Produkte dann aufsummieren (blah blah ...).

Für das Element multiplizieren wir die erste Zeile von mit der zweiten Spalte von .

usw ...

Für das Element multiplizieren wir die zweite Zeile von mit der vierten Spalte von .

.

Geübte multiplizieren die Produktsummen direkt in die Matrix hinein. Das sieht dann so aus:

Man kann sich übrigens bei Matrizenmultiplikationen beliebig oft verrechnen. Auch mit viel Erfahrung.

Mit der Berechnung von können wir uns nun auch überlegen, welche Dimension die Ergebnismatrix hat. Wir hatten gesehen, dass das "südöstliche" Element heißt - also hat zwei Zeilen und vier Spalten, d.h. hat die Ordnung .

  A         B    
a a a   b b b b  
a a a   b b b b  
        b b b b  
                 
2 × 3   3 × 4   Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B!!
         
    2 × 4       neue Matrix
Folgerung aus den Beispielen[Bearbeiten]

Jetzt können wir die Matrizenmultiplikation als Formel darstellen:

Gegeben sind die Matrizen , . Das Element des Produktes ergibt sich, indem man die te Zeile von mit der ten Spalte von elementweise multipliziert und die Produkte aufaddiert:

.

Es muss also die Spaltenzahl von gleich der Zeilenzahl von sein.

2. Beispiel von oben:

konnte bestimmt werden. Was aber ergibt ? Wir versuchen es:

Wir haben zwei Spalten bei , aber drei Zeilen von . Hier ist eine Multiplikation nicht definiert.

Vielleicht geht aber ? Von der Ordnung her würden die Matrizen ja zusammenpassen. Sehen wir uns das an:

Wir hätten für das Produkt eines Elements die Konstellation mit der entsprechenden Einheit für den Input als

,

also kompletten Unsinn. Wir sehen, dass die Anordnung der Matrizen von Bedeutung ist.

Beachten:

Im allgemeinen ist .

Man schreibt , usw., falls die Multiplikationen erlaubt sind.

Multiplikation von Vektoren[Bearbeiten]

Es gilt speziell bei einem Zeilenvektor und einem Spaltenvektor der Ordnung n:

Man nennt diese Art des Produkts Skalarprodukt, weil das Produkt der Vektoren ein Skalar ergibt.

Beispiele:

Es ist ,

aber

.

Umformung von Matrizengleichungen[Bearbeiten]

Additive Erweiterung[Bearbeiten]

Man kann eine Matrizengleichung additiv von links oder rechts erweitern, wobei die Ordung der Matrizen übereinstimmen muss.

Beispiel:

Gegeben sind und . Es ist

          

Multiplikative Erweiterung[Bearbeiten]

Man kann eine Matrizengleichung multiplikativ erweitern, wobei die Ordung der Matrizen den Multiplikationsgesetzen entsprechend sein muss.

Von links:

Beispiel

Gegeben sind und . Es ist

   


Ausklammern:

Es ist auch


Von rechts:

Beispiel

Gegeben sind und . Es ist

   


Ausklammern:


Umformungen wie sind im allgemeinen nicht zulässig und auch oft gar nicht definiert.


Spezielle Rechenregeln

Gegeben sind und invertierbar, und invertierbar, und die Nullmatrix . Es sind

Skalare werden wie Zahlen behandelt. Insbesondere können die Seiten der Gleichung wahlweise von links und von rechts mit einem Skalar multipliziert werden.

Beispiel:


Beispiele für Umformungen


Gegeben ist die Gleichung ist invertierbar. Gesucht ist :

          


Gegeben ist   wobei invertierbar ist. Gesucht ist :


                  


Gegeben ist   mit . Gesucht ist :

Es ist

Mit erhalten wir

Es ist also . Man nennt die Matrix idempotent.

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