Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Rang einer Matrix

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Der Rang gibt die "Information" an, die in einer Matrix steckt.

Wir betrachten noch einmal das zweite Beispiel von Lisa und Familie Meier:

Im Juli kauft Lisa einen Schokoriegel und zwei Tüten Chips und zahlt 8 Euro. Familie Meier kauft vier Schokoriegel und acht Tüten Chips und zahlt 32 Euro.

Die Koeffizientenmatrix ist . Man könnte auch als Zusammenfassung von zwei Spaltenvektoren auffassen: mit und .

Hier sind zwei Spalten (und auch zwei Zeilen ) linear abhängig voneinander.

Lineare Abhängigkeit bedeutet hier bzw. , allgemein ( const.), was bedeutet, dass im Grund schon eine Spalte die nötige Information enthält.

Nun wollen wir ein Beispiel mit drei Spaltenvektoren ansehen.

Gegeben sind drei Spaltenvektoren , und . Falls gilt

,

wobei und Skalare (= Konstanten) sind und mindestens ein Skalar ist, nennt man eine Linearkombination aus und . , und sind dann linear abhängig.

Beispiel: Gegeben sind die beiden Spaltenvektoren 2. Ordnung (also ) und . und sind linear unabhängig, denn es gibt kein , das die Beziehung ermöglicht.

Aus Linearkombinationen mit und können nun alle restlichen Vektoren der Ordnung 2 gebildet werden.

Beispielsweise soll der Vektor mit Hilfe von und dargestellt werden. Wir erreichen das mit

also .

Übrigens kriegt man die Werte raus, indem man ein Gleichungssystem

bzw.

löst.

Man nennt und Basisvektoren. Sie spannen den zweidimensionalen Raum auf.

Wie ist das gemeint? Stellen wir uns ein Koordinatensystem aus und vor. Mit Hilfe der --Paare können wir jeden Punkt in diesem Koordinatensystem darstellen. und spannen also den zweidimensionalen Raum auf. Das Gleiche haben wir mit und gemacht.

Basisvektoren im engeren Sinn sind die Einheitsvektoren und . Sie bilden das kartesische Koordinatensysten. In der Regel werden mit dem Begriff Basisvektoren diese Einheitsvektoren gemeint.

Werden Spaltenvektoren der Ordnung betrachtet, können maximal Vektoren linear unabhängig sein.

Sind beispielsweise die Vektoren , , und der Ordnung 3 gegeben, müssen diese Vektoren insgesamt linear abhängig sein, es gilt also hier

oder auch   (, , , const.) usw.

Betrachten wir die drei Spaltenvektoren 3. Ordnung , und . , und sind linear unabhängig. Jeder Vektor der Ordnung 3 kann als Linearkombination dieser drei Vektoren dargestellt werden, z.B.

.

Entsprechendes gilt übrigens auch für die Zeilenvektoren.

Besteht eine -Matrix aus genau unabhängigen Vektoren , hat die Matrix den Rang , also .

Im obigen Beispiel von Lisa und den Meiers ist , weil - wie wir im Kapitel über Lösbarkeit von Gleichungssystemen sehen konnten - nur 1 aussagefähige Gleichung existiert. In der ursprünglichen Konstellation des Beispiels ist

,

denn hier sind beide Spaltenvektoren linear unabhängig, kann nicht als Linearkombination von dargestellt werden, beide Zeilen enthalten eigenständige Informationen.

Wie berechnet man den Rang einer Matrix?

Beispielsweise mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus. Man bringt die Matrix so weit wie möglich auf Dreiecksgestalt (also auf Trapezgestalt). Die Zahl der Zeilen, die keine Nullvektoren sind, geben den Rang an.

Es gilt:

Bei einer ()-Matrix ist der Rang höchstens der kleinere Wert von und .

Ist der Rang einer quadratischen Matrix (also ) gleich , hat vollen Rang, ist regulär, nichtsingulär, invertierbar. Alle Bezeichnungen sind äquivalent.

Beispiele für Ergebnistableaus von oben. Gesucht ist der Rang von links im Tableau:

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII


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