Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Wert einer Kapitalanlage

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Bar- und Endwert eines Kapitals


Endwert eines Kapitals[Bearbeiten]

Beispiel

Die Studentin Berta, ein Waisenkind, erbt anlässlich ihrer Volljährigkeit am Jahresende 10.000 €. Nun hat aber der Vormund dieses Geld gerade in laufenden Geschäften stecken und bittet das Mündel, doch noch drei Jahre mit der Einforderung zu warten. Damit sich das Warten für das Mündel lohnt, soll das Kapital zu 10% jährlich verzinst werden. Die Verzinsung erfolgt immer zum Jahresende.

Wir nennen den aufgelaufenen Betrag Kapital und wollen uns anschaun, wie das Kapital im Lauf der Jahre wächst.

Ende des Jahres t Kapital Kt
       0              K0 = 10000
       1              K1 = 10000 + 10000*0,1 = 11000
       2              K2 = 11000 + 11000*0,1 = 12100
       3              K3 = 12100 + 12100*0,1 = 13310

Also kann Berta wählen, ob sie gleich 10000 € sofort oder 13310 € in drei Jahren haben will.

Allgemein kann man mit dem Zinssatz i und dem Kapital Kt am Jahresende t den Prozess der Verzinsung so darstellen:

Ende t  Kapital 
  0        
  1       
  2       
  3       

Also erhalten wir . Wir nennen 0,1 den Zinssatz und 10% den Zinsfuß. Der Endwert Kn eines Kapitals am Ende des Jahres n beträgt allgemein mit :

Wir bezeichnen als Endwert, als Barwert oder Gegenwartswert, als Aufzinsungsfaktor. Das Kapital wird also aufgezinst.

Barwert eines Kapitals[Bearbeiten]

Beispiel

Der Student Bert möchte sich heuer zu Silvester sein Erbe von 10.000 €, das er in drei Jahren erhalten soll, vorzeitig auszahlen lassen. Da das Geld investiert wurde, entstünde dem Investor ein Schaden, wenn das Geld vorzeitig abgerufen würde. So bekommt er nur einen Teil des Geldes ausbezahlt, und zwar jährlich zu 8% abgezinst, d.h. wenn er jetzt einen uns noch unbekannten Betrag mit jährlich 8% Zinsen anlegen würde, hätte er mit Zinseszins am Ende des dritten Jahres genau 10.000 €. Der gesuchte Betrag ist der Barwert des Kapitals .

Wir wollen mit Hilfe dieser Überlegung den Barwert ermitteln, den Bert ausgezahlt bekäme:

Wie wir oben gesehen haben, gilt .

Also erhalten wir

bzw.

Wir nennen den Abzinsungsfaktor oder Diskontierungsfaktor. wird abgezinst oder diskontiert.

Der Barwert eines Kapitals, das bis zum Jahresende von n angelegt wurde, beträgt

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