Mathematikunterricht/ Sek/ Lineare Funktion/ Zusammenfassung

Was man über affine und lineare Funktionen wissen sollte

Funktionsgleichung

Eine Funktion $f(x)\,$ mit $f(x)=a_{1}x+a_{0}\,$ heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder affine Funktion.

Der Funktionsgraph stellt eine Gerade dar.

Ist $a_{0}=0$, so handelt es sich um eine lineare Funktion.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der y - Achse: $P_{y}(0|y_{s})\Rightarrow y_{s}=f(0)\,$

Schnittpunkt mit der x - Achse: $P_{x}(x_{s}|0)\Rightarrow f(x_{s})=0\,$

Hintergrundinformation

Steigung

Die Steigung des Graphen einer affinen Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)\,$ mit $f(x)=a_{1}x+a_{0}\,$ lässt sich am Koeffizienten $a_{1}\,$ ablesen.

Berechnet wird sie mit:

$a_{1}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan \alpha \,$ In Kurzform: $a_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,$

Hintergrundinformation

Funktionsgleichung aufstellen

• Die Steigung $a_{1}=a\,$ und ein Punkt $P_{1}(x_{1}|y_{1})\,$ der auf der Geraden liegt seien bekannt.

Ansatz: $f(x)=ax+a_{0}\,$

$P_{1}(x_{1}|y_{1}):\Rightarrow f(x_{1})=y_{1}\Leftrightarrow ax_{1}+a_{0}=y_{1}\Leftrightarrow a_{0}=y_{1}-ax_{1}\,$

• Die Koordinaten zweier Punkte $P_{1}(x_{1}|y_{1})\,$ und $P_{2}(x_{2}|y_{2})\,$ die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet: $a_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\Rightarrow f(x)=a_{1}x+a_{0}\,$

$P_{1}(x_{1}|y_{1}):\Rightarrow f(x_{1})=y_{1}\Leftrightarrow ax_{1}+a_{0}=y_{1}\Leftrightarrow a_{0}=y_{1}-ax_{1}\,$

oder

$P_{2}(x_{2}|y_{2}):\Rightarrow f(x_{2})=y_{2}\Leftrightarrow ax_{2}+a_{0}=y_{2}\Leftrightarrow a_{0}=y_{2}-ax_{2}\,$

Hintergrundinformation

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0\Rightarrow x_{s}\,$ x - Wert vom Schnittpunkt der beiden Geraden.

$y_{s}=f(x_{s})=g(x_{s})\Rightarrow S(x_{s}|y_{s})\,$ als Schnittpunkt der beiden Geraden.

Hintergrundinformation

Orthogonale Geraden

Für die Steigung zweier senkrecht aufeinanderstehender Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ gilt:

$a_{1}\cdot a_{2}=-1\,$ bzw. $a_{1}=-{\frac {1}{a_{2}}}\,$ bzw. $a_{2}=-{\frac {1}{a_{1}}}\,$

Hintergrundinformation

Weblinks

• Geraden erkennen Eine Gerade wird im Koordinatensystem abgebildet. Die Funktionsgleichung ist zu bestimmen (interaktiv).
• Gerade durch zwei Punkte Nach Eingabe der Koordinaten zweier Punkte, wird die Gerade abgebildet und die Funktionsgleichung berechnet (interaktiv).
• Geradenschnittpunkt Der Schnittpunkt zweier Geraden wird berechnet (interaktiv).
• Videolektion + Lernsoftware zu den Linearen Funktionen (EchtEinfach.tv)