Mathematische Übungsbeispiele: Astronomie

Wie groß ist die Welt

Entschuldigung, wie weit ist es bis zur Sonne

Aristarch von Samos überlegte sich, dass er bei exaktem Halbmond und sichtbarer Sonne aus dem Winkel $\beta$ berechnen konnte, um wie viel weiter die Sonne als der Mond von der Erde entfernt ist. Er mass einen (leider ungenauen) Winkel $\beta =87^{\circ }$ Um wie viel mehr ist bei diesem Winkel die Sonne vom Mond entfernt als der Mond von der Erde?

Aristarch schloss aus dem Ergebnis, dass die Erde um die Sonne kreisen musste und nicht umgekehrt, wie zu seiner Zeit (und auch noch lange nachher) allgemein geglaubt wurde.

Nach heutiger Erkenntnis ist die Sonne ca 150.000.000 km von der Erde entfernt und der Mond von der Erde im Mittel 384.400 km. Für die Entfernung Mond-Sonne können wir ebenfalls den Wert von 150.000.000 nehmen (unter Vernachlässigung des kleinen Unterschiedes) Welchen Wert muss der Winkel $\beta$ bei diesen Entfernungen nun tatsächlich haben?

Die Größe der Erde

Eratosthenes prägte den Begriff der Geographie und ist insbesonders berühmt für die Berechnung des Erdumfangs. An einem bestimmten Tag im Jahr spiegelte die Sonne sich mittags am Grund eines Brunnens in Syene (heute Assuan am Nil) sie stand also genau lotrecht über der Stadt. Zur gleichen Zeit warf die Sonne in Alexandria (ebenfalls am Nil und damit ziemlich genau nördlich) einen Schatten an einem Obelisken. Daraus konnte Erathostenes den Zenithabstand der Sonne (ein Winkel $\alpha$ ) in Alexandria berechnen. Die königlichen Schreiter, eine Truppe von speziell ausgebildeten Soldaten, hatten durch Marschieren die Entfernung zwischen Alexandria und Syene ermittelt. Eratosthenes ging davon aus, dass die Sonne so weit weg ist, dass man ihre Strahlen getrost als parallel annehmen kann und berechnete aus der Entfernung Syene-Alexandria und aus $\alpha =7^{\circ }12'$ einen Erdumfang von 250.000 Stadien. Wie viel ein Stadion ist, wissen wir heute leider nicht mehr genau, beziehungsweise gibt es unterschiedliche Quellen. Wenn die Quellen, die sich auf Plinius den Älteren berufen, stimmen, ist ein Stadion 157,2 Meter und Eratosthenes hätte den Erdumfang erstaunlich genau auf 39300 Kilometer berechnet. Welche Entfernung (in Stadien) haben die königlichen Schreiter gemessen?

Lösung und Details

Erde-Sonne: Berechne auf zwei Stellen hinter dem Komma: Aristarchs Berechnung Status:G Schulstufe:10

Erde-Sonne:Berechne auf zwei Stellen hinter dem Komma: Tatsächlicher Winkel $\beta$ Status:G Schulstufe:10

Umfang der Erde: Syene-Alexandria Status:G Schulstufe:10