Mathematische Geodäsie: Hauptaufgaben:Randwertaufgabe kurze Distanz

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Randwertaufgabe[Bearbeiten]

Die Randwertaufgabe bestimmt Startazimut und Distanz bei bekannten Anfangs- (U1,V1)und Endpunkt (U2,V2).

Ansatz[Bearbeiten]

Sind die Legendreschen Reihen für eine Fläche aufgestellt, werden sie in Riemannschen Koordinaten ausgedrückt, es findet also eine Ersetzung mit den folgenden Formeln statt:

Allgemeines Beispiel für Koeffizientenvergleich[Bearbeiten]

Die Reihe habe die Gestalt

Mit den bekannten Koeffizienten bi.

Gesucht sind die Koeffizienten ai der umgekehrten Funktion

Das bekannte x wird in die y-Funktion eingesetzt:

Ausquadriert und unter Vernachlässigung von Gliedern mit Ordnung ab 3:

Ordnen nach y ergibt:

Der Koeffizientenvergleich bezieht sich auf rechte und linke Seite, deswegen links die Nullterme. Es entstehen drei Gleichungen für die drei Unbekannten bi:

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

Bemerkung[Bearbeiten]

Natürlich unterliegen die so gewonnenen Reihen denselben Beschränkungen hinsichtlich der Distanz wie die Legendrereihen für die Anfangswertaufgabe, d.h. maximale Entfernung 150 km.