Mathematische Geodäsie: Hauptaufgaben: Anfangswertaufgabe Integral

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Anwendungsgebiet

Globale Meßverfahren haben es notwendig gemacht, die Hauptaufgaben auch für große Entfernungen von vielen tausend Kilometern ohne Approximationsfehler zu lösen.

Ansatz

Die Differentialgleichungen

$U'(S,A_{0})={\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}={\frac {\cos A}{\sqrt {G_{11}}}}$

$V'(S,A_{0})={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}={\frac {\sin A}{\sqrt {G_{22}}}}$

$A_{0}'(S,A_{0})={\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} S}}={\frac {1}{\sqrt {G_{11}G_{22}}}}\left({\frac {\partial }{\partial V}}{\sqrt {G_{11}}}\cos A-{\frac {\partial }{\partial U}}{\sqrt {G_{22}}}\sin A\right)$

werden integriert, so dass eine Funktion entsteht

$U(S,P)=U_{0}+\int _{P_{0}}^{P_{1}}U'(S,P)\mathrm {d} S$

dabei herauskommt. Dass Integral ist (für viele Flächen) nicht lösbar. Deswegen wird es numerisch gelöst.

Einschrittverfahren

Ein mögliches w:Integrationsverfahren ist das nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta benannte Runge-Kutta-Verfahren, ein w:Einschrittverfahren. Ihm liegt die Simpsonsche Formel zugrunde.

Es handelt sich um eine Approxiamtion durch Funktionswerte von Geraden, die das Integral mal zu groß und mal zu klein und approximieren. Sie bauen auch aufeinander auf. Das heißt die erste Gerade wird aus dem Anfangspunkt, die zweite Gerade aus der ersten und so weiter berechnet. Der Integralwert berechnet sich aus dem gewichteten Mittel der Geradenwerte.

Schrittweite

Das Integral wird für eine bestimmte Schrittweite berechnet, die maximal die Distanz S zwischen Anfangs- und Endpunkt beträgt. Durch Verkleinerung der Schrittweite und berechnen mehrerer Integrale lässt sich die Genauigkeit zu einem gewissen Grad steigern. Jedoch nur so weit wie alle Größen noch ohne wesentliche Verfälschung im Rechner dargestellt werden können. Die einzelnen Werte dürfen nicht zu klein werden, sonst sind die Rundungsfehler des Rechners zu groß!

Grob- und Feinrechnung

Zu Berechnung können Grob- und Feinrechnung kombiniert werden. Das Runge Kutta Verfahren kann mehrmals iterativ angewandt werden, bis die Änderung zwischen aktuellen und vorherigen Schritt unter einer selbst zu definierenden Schwelle liegt.

Simultane Berechnung der Differentialgleichungen

Da die drei Differentialgleichungen der anfangswertaufgabe voneinander abhängen, werden sie simultan berechnet.