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Berechnung von Endpunkt und Endazimut bei bekannten Startazimut und Länge für die Orthodrome

Problem

Gegeben ist ein Anfangspunkt mit den Koordinaten U und V auf einer (fast) beliebigen Fläche, z.B. einem Rotationsellipsoid. Aufgabe ist es herauszufinden, an welchen Punkt sich ein Fahrzeug befindet, wenn es im Anfangspunkt unter dem Startazimut A₁ (w:Ostazimut) gestartet ist und auf einer Orthodrome ein bestimmtes Streckenstück zurückgelegt hat. Zu den Punktkoordinaten des Zielpunktes gehört auch das zugehörige Azimut, dass bei Fahrt auf der Orthodrome vom Startazimut verschieden sein muss.

Nötig sind also drei Funktionen, die die Zielgrößen aus den festen Anfangsgrößen und der variablen Streckenlänge bestimmen.

U_{U_{0},V_{0},A_{0}}(S)

V_{U_{0},V_{0},A_{0}}(S)

A_{U_{0},V_{0},A_{0}}(S)

Auf manchen Flächen mag es gelingen, die notwendigen Formeln explizit aufzustellen. Wir werden aber einen taylorisierten Ansatz verwenden.

Ansatz (Legendresche Reihen)

Durch Taylorisierung im Startpunkt z.B. bis Grad 3 ergeben sich die Funktionen.

U(S)=U_{0}+{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot S+{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} S^{2}}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot {\frac {S^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {d} ^{3}U}{\mathrm {d} S^{3}}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot {\frac {S^{3}}{6}}+...

V(S)=V_{0}+{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot S+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} S^{2}}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot {\frac {S^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {d} ^{3}V}{\mathrm {d} S^{3}}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot {\frac {S^{3}}{6}}+...

A(S)=A_{0}+{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} S}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot S+{\frac {\mathrm {d} ^{2}A}{\mathrm {d} S^{2}}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot {\frac {S^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {d} ^{3}A}{\mathrm {d} S^{3}}}(U_{0},V_{0},A_{0})\cdot {\frac {S^{3}}{6}}+...

Diese Entwicklungen werden auch als Legendresche Reihen bezeichnet. Sie können in der Nähe der Pole wegen numerischen Problemen nicht angewendet werden.

Differentialgleichungen erster Ordnung

Aufgabe ist es nun, die Ableitungen zu bestimmen. Die ersten Ableitungen für U und V werden aus einem infisitesimalen Dreieck hergeleitet. Stehen die Parameterlinien senkrecht aufeinander (d.h. der erste Metriktensor ist eine Diagonalmatrix) ist das Dreieck rechtwinklig und die Zusammenhänge sind einfacher.

Es ergeben sich

${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}={\frac {\cos A}{\sqrt {G_{11}}}}$

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}={\frac {\sin A}{\sqrt {G_{22}}}}$

Die Kombination und Umstellung beider Gleichungen ergibt ${\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} S}}={\frac {1}{\sqrt {G_{11}G_{22}}}}\left({\frac {\partial }{\partial V}}{\sqrt {G_{11}}}\cos A-{\frac {\partial }{\partial U}}{\sqrt {G_{22}}}\sin A\right)$

Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Für die Aufstellungen der Differentialgleichungen zweiter Ordnung können für die zu U und V gehörenden Ableitungsgleichungen Christoffelsymbole verwendet werden.

${\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} S^{2}}}=-\Gamma _{11}^{1}\left({\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}\right)^{2}-2\Gamma _{12}^{1}{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}-\Gamma _{22}^{1}\left({\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}\right)^{2}$ ${\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} S^{2}}}=-\Gamma _{11}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}\right)^{2}-2\Gamma _{12}^{2}{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}-\Gamma _{22}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}\right)^{2}$

Die Differentialgleichung zweiter Ordnung für das Azimut berechnet sich nach der Formel für höhere Ordnung.

Differentialgleichungen höherer Ordnung

${\frac {\mathrm {d} ^{n}U}{\mathrm {d} S^{n}}}=\left({\frac {\partial }{\partial U}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}U}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}+\left({\frac {\partial }{\partial V}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}U}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}+\left({\frac {\partial }{\partial A}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}U}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} S}}$ ${\frac {\mathrm {d} ^{n}V}{\mathrm {d} S^{n}}}=\left({\frac {\partial }{\partial U}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}V}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}+\left({\frac {\partial }{\partial V}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}V}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}+\left({\frac {\partial }{\partial A}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}V}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} S}}$ ${\frac {\mathrm {d} ^{n}A}{\mathrm {d} S^{n}}}=\left({\frac {\partial }{\partial U}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}A}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} S}}+\left({\frac {\partial }{\partial V}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}A}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} S}}+\left({\frac {\partial }{\partial A}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}A}{\mathrm {d} S^{n-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} S}}$

Schlussbemerkung

Damit lassen sich die Taylorreihen aufstellen. Zu beachten ist, dass sich die Taylorfunktion, je weiter sie sich vom Taylorisierungspunkt entfernt, die tatsächliche Funktion immer schlechter approxiert. Der Fehler kann ggf. abgschätzt werden. Allgemein eignen sich die Legendreschen Reihen nur für kurze geodätische Linien von 100 bis 150 km Länge, da sonst für geodätische Anwendungen mit Genauigkeitsanforderungen im Bereich 1mm bis 1cm der Approximationsfehler zu groß wird. Für größere Entfernungen sind entfernungsunabhängige numerische Integrationsmethoden zu verwenden.

Satz von Clairaut

Bei Drehflächen gilt für die geodätische Linie:

In jedem Punkt ist das Produkt aus Parallekreisradius und Kosinus des Ostazimuts konstant.

Die Ableitung des Produkts nach der Strecke muss demnach Null ergeben:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} S}}\cos A{\sqrt {G_{11}}}=0$