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Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Direkte und indirekte Beweise

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Vollständige Induktion[Bearbeiten]

Quadratensummenformel[Bearbeiten]

Wir zeigen erst einmal, dass, wenn diese Formel für eine zufällige natürliche Zahl m gilt, dann wird sie auch für m+1 gelten (also für die nächste natürliche Zahl). Wir nehmen also an, dass schon gilt. Wenn wir m durch m+1 ersetzen, bekommen wir die Formel:

Wird diese Formel auch gelten?

(nächster Schritt: auf beide Seiten (m+1)² addieren)

(nächster Schritt: rechts gemeinsamen Nenner erzeugen)

(nächster Schritt: Brüche mit gemeinsamer Nenner als ein Bruch schreiben)

(nächster Schritt: (m+1) Herausheben)

(nächster Schritt: manche Rechnungen im Zähler durchführen)

Wir haben also gezeigt, dass, wenn die Formel für irgendeine natürliche Zahl gilt, dann wird sie sicherlich auch für die nächste gelten. Zeigen wir jetzt, dass diese Formel für m=1 gilt:

...was selbstverständlich gilt. Daher gilt der Satz für alle natürliche Zahlen.

Summenformel ungerader Quadrate[Bearbeiten]

Wir zeigen erst einmal, dass, wenn diese Formel für eine zufällige natürliche Zahl m gilt, dann wird sie auch für m+1 gelten (also für die nächste natürliche Zahl). Wir nehmen also an, dass schon gilt. Wenn wir m durch m+1 ersetzen, bekommen wir die Formel:

Wird diese Formel auch gelten?

(nächster Schritt: auf beide Seiten (m+1)² addieren)

(nächster Schritt: rechts gemeinsamen Nenner erzeugen)

(nächster Schritt: Brüche mit gemeinsamer Nenner als ein Bruch schreiben)

(nächster Schritt: (2m+1) Herausheben)

(nächster Schritt: manche Rechnungen im Zähler durchführen)

Wir haben also gezeigt, dass, wenn die Formel für irgendeine natürliche Zahl gilt, dann wird sie sicherlich auch für die nächste gelten. Zeigen wir jetzt, dass diese Formel für m=1 gilt:

...was selbstverständlich gilt. Daher gilt der Satz für alle natürliche Zahlen.

Geometrische Beweise[Bearbeiten]

Gleichseitiges Dreieck[Bearbeiten]

Wir wenden den Satz des Pythagoras für die Hälfte des Dreiecks an:

Die Formel für ein rechtwinkeliges Dreieck mit Katheten a und b ist Wir haben zwei rechtwinkeligen Dreiecke (linker und rechter Teil des gleichseitigen Dreiecks) mit Seiten und Daher ist die Fläche:

Goldener Schnitt[Bearbeiten]

Laut Definition sollte gelten:

Laut Formel für die quadratische Gleichung gilt für ihre Lösungen (wenn a die unbekannte Variable ist):

(Wir nehmen nur die positive Lösung)

Quadratfläche mit Diagonale[Bearbeiten]

Laut Formel für die Diagonale d bei einem Quadrat mit Seite a gilt:

Laut Formel für die Fläche:

Widerspruchsbeweise[Bearbeiten]

Minus mal Minus[Bearbeiten]

Nehmen wir folgende Rechnung:

Macht man nach der Regel erst die Rechnung in Klammern, ist das Ergebnis:

Dies sollte also ein richtiges Ergebnis sein.

Wenn erst die Klammer aufgelöst wird, dann ergibt sich Folgendes:

ist

Wenn Minus mal Minus Minus wäre, dann wäre und das Ganze ergäbe:

was ein falsches Ergebnis ist, da wir schon gesehen haben, dass das Ergebnis, wenn man erst die Rechnung in Klammern macht, ist.

Wenn Minus mal Minus Plus ist, dann ist und das Ganze ergibt:

... was mit unserem Ergebnis am Anfang übereinstimmt.

Ähnliche Ergebnisse bekommt man, egal welches Beispiel benutzt wird. Daher ist Minus mal Minus Plus.

Wurzel 3 Irrationalität[Bearbeiten]

Erst zeigen wir, dass das Quadrat von Zahlen, die durch 3 teilbar sind immer auch Zahlen sind, die auch durch 3 teilbar sind. Wir zeigen auch, dass das Quadrat von Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind immer auch Zahlen sind, die auch nicht durch 3 teilbar sind:

Sei m eine Zahl, die durch 3 teilbar ist. Nennen wir das Ergebnis der Teilung k. Dann gilt:

Also: das Quadrat einer Zahl, die durch 3 teilbar ist, ist auch eine Zahl, die durch 3 teilbar ist.

Sei n eine Zahl, die nicht durch 3 teilbar ist. Diese Zahl kann zwei Formen haben: oder Für den ersten Fall gilt:

Also: das Quadrat ist auch nicht durch 3 teilbar.

Für den zweiten Fall gilt:

Also: das Quadrat ist auch nicht durch 3 teilbar.

Daraus folgt:

Satz 1: Wenn das Quadrat einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann kann diese Zahl nur auch durch 3 teilbar sein,...

...weil, wenn sie nicht durch 3 teilbar wäre, ihr Quadrat doch auch nicht durch 3 teilbar wäre.

Nehmen wir also jetzt an, dass , wobei a und b teilerfremd sind. Dann gilt:

Nach Satz 1 bedeutet dies, dass a eine durch 3 teilbare Zahl ist (da ihr Quadrat auch eine durch 3 teilbare Zahl ist). Schreiben wir also: , wo der Quotient von a durch 3 ist. Dann gilt:

was dann nach Satz 1 bedeutet, dass b AUCH eine durch 3 teilbare Zahl ist. Das kann aber nicht sein, weil wir angenommen haben, dass a und b teilerfremd sind, also dass sie keinen gemeinsamen Primfaktor haben.

Wenn wir also vermuten, dass , also ein Bruch von natürlichen Zahlen, ist, sollten diese Zahlen gleichzeitig teilerfremd sein UND 3 als gemeinsamen Teiler haben. Dies ist selbstverständlich nicht möglich. Daher kann es nicht sein, dass ein Bruch von natürlichen Zahlen, also eine rationale Zahl, ist. Daher ist sie eine irrationale Zahl.