Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Ermittlung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte $\ P_{1}:(3|5)\$ und $\ P_{2}:(1{,}5|4{,}5)$. Ihre Ableitung an der Stelle 2 ist null. Wie lautet die Funktion?

Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion ist:

$Q(x)=a\,x^{2}+b\,x+c$

Die entsprechende Ableitung ist:

$Q'(x)=2\cdot a\,x+b$

An der Stelle 3 (x=3) hat die Funktion den Wert 5: Q(3)=5, Punkt $(3|5)$

$5=a\,3^{2}+b\,3+c$

An der Stelle 1,5 (x=1,5) hat die Funktion den Wert 4,5: Q(1,5)=4,5, Punkt $(1{,}5|4{,}5)$

$4{,}5=a\,1{,}5^{2}+b\,1{,}5+c$

An der Stelle 2 (x=2) ist die Ableitung null (Q'(x)=0)

$0=2\cdot a\,\cdot 2+b$

Wir haben daher ein LGS mit 3 Gleichungen und drei Unbekannten:

${\begin{matrix}9a+&3b+&c&=5\\2{,}25a+&1{,}5b+&c&=4{,}5\\4a+&1b&&=0\end{matrix}}$

Als Matrize:

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&1&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]$

Letztere kann mit einem elektronischen Hilfsmittel
oder mit dem gaußschen Verfahren gelöst werden:

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&1&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\I-II\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\4&1&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}{\tfrac {\qquad }{}}\\{\tfrac {\qquad }{}}\\{2\,II-3\,III}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\1{,}5&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\1\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\2\,II-9\,III\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\0&3&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\-8\\{\tfrac {1}{1{,}5}}\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}-II-9\,III\\{\tfrac {\qquad }{}}\\{\tfrac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}7\\{-{\tfrac {8}{3}}}\\{\tfrac {2}{3}}\end{matrix}}\right.\right]$

In der ersten Spalte war die Koeffizient a von $x^{2}$. Wir können sie in der dritten Zeile ablesen: $a={\tfrac {2}{3}}$. Entsprechend können wir die Koeffizient von x an der zweiten Zeile und den y-Achsenabschnitt c an der ersten Zeile ablesen. Die gefragte quadratische Funktion lautet daher:

$Q(x)={\frac {2}{3}}x^{2}-{\frac {8}{3}}x+7$