Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionen g ( x ) = 0 , 5 e x − 1 {\displaystyle \ g(x)=0{,}5e^{x}-1\ } und f ( x ) = − 0 , 16 x 2 − 0 , 4 x + 2 , 75 {\displaystyle \ f(x)=-0{,}16x^{2}-0{,}4x+2{,}75\ } und zwischen den Stellen −2 und 2.
g ( x ) = f ( x ) → 0 , 5 e x − 1 = − 0 , 16 x 2 − 0 , 4 x + 2 , 75 → {\displaystyle g(x)=f(x)\rightarrow 0{,}5e^{x}-1\ =-0{,}16x^{2}-0{,}4x+2{,}75\ \rightarrow } x 1 ≈ 1,664 33 {\displaystyle x_{1}\approx 1{,}66433} A = ∫ − 2 x 1 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x + ∫ x 1 2 ( g ( x ) − f ( x ) ) d x = {\displaystyle A=\int _{-2}^{x_{1}}{\big (}f(x)-g(x){\big )}\,\mathrm {d} x+\int _{x_{1}}^{2}{\big (}g(x)-f(x){\big )}\,\mathrm {d} x=} ∫ − 2 x 1 ( − 0 , 5 e x + 1 − 0 , 16 x 2 − 0 , 4 x + 2 , 75 ) d x + … {\displaystyle \int _{-2}^{x_{1}}(-0{,}5e^{x}+1-0{,}16x^{2}-0{,}4x+2{,}75)\,\mathrm {d} x+\dots } ⋯ + ∫ x 1 2 ( 0 , 5 e x − 1 + 0 , 16 x 2 + 0 , 4 x − 2 , 75 ) d x = {\displaystyle \qquad \quad \dots +\int _{x_{1}}^{2}(0{,}5e^{x}-1+0{,}16x^{2}+0{,}4x-2{,}75)\,\mathrm {d} x=} [ − 0 , 5 e x + x − 0 , 16 3 x 3 − 0 , 2 x + 2 , 75 x ] − 2 x 1 + {\displaystyle \left[-0{,}5e^{x}+x-{\frac {0{,}16}{3}}x^{3}-0{,}2x+2{,}75x\right]_{-2}^{x_{1}}+} ⋯ + [ 0 , 5 e x − x + 0 , 16 3 x 3 + 0 , 2 x 2 − 2 , 75 x ] x 1 2 = {\displaystyle \qquad \quad \dots +\left[0{,}5e^{x}-x+{\frac {0{,}16}{3}}x^{3}+0{,}2x^{2}-2{,}75x\right]_{x_{1}}^{2}=} ( − 0 , 5 e 1 , 66.. + 1 , 66.. − 0 , 16 3 ⋅ 1 , 66.. 3 − 0 , 2 ⋅ 1 , 66.. 2 + 2 , 75 ⋅ 1 , 66.. ) − … {\displaystyle \left(-0{,}5e^{1{,}66..}+1{,}66..-{\frac {0{,}16}{3}}\cdot {1{,}66..}^{3}-0{,}2\cdot {1{,}66..}^{2}+2{,}75\cdot 1{,}66..\right)-\dots } ⋯ − ( − 0 , 5 e ( − 2 ) + 1 − 0 , 16 3 ⋅ ( − 2 ) 3 − 0 , 2 ⋅ ( − 2 ) 2 + 2 , 75 ⋅ ( − 2 ) ) + usw. … {\displaystyle \qquad \quad \dots -\left(-0{,}5e^{(-2)}+1-{\frac {0{,}16}{3}}\cdot {(-2)}^{3}-0{,}2\cdot {(-2)}^{2}+2{,}75\cdot (-2)\right)+\ {\text{usw.}}\ldots } ≈ 10 , 96 {\displaystyle \ \approx 10{,}96\ } (mit Geogebra berechnet)