Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Kurvendiskussion Umkehraufgaben

Temperatur (°C): $4$ $5$ $1$ Höhe (dm): $\ \ 3\ \$ $\ \ 3{,}4\ \$ $\ \ 0\ \$ In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank gezeigt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Die entsprechende Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle 3,4 einen Extrempunkt. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion. Die nebenan im Intervall [6;8] als s abgebildete Funktion 2. Grades führt am Punkt (6|4) knickfrei zur entsprechenden Ebene und hat die Nullstelle 8. Wie lautet die Funktion?

Es geht um eine Polynomfunktion 4. Grades, wir brauchen daher 5 Gleichungen.

Die allgemeine Gleichung einer Polynomfunktion 4.Grades ist:

$P(x)=a\,x^{4}+b\,x^{3}+c\,x^{2}+d\,x+e$

Die entsprechende 1. Ableitung ist:

$P'(x)=4\ a\,x^{3}+3\ b\,x^{2}+2\ c\,x+d$

Die entsprechende 2. Ableitung ist:

$P''(x)=12\ a\,x^{2}+6\ b\,x+2\ c$

Diese Ableitungen können wir mit Hilfe von Geogebra berechnen:

Geogebra→CAS→
$P(x)=a\,x^{4}+b\,x^{3}+c\,x^{2}+d\,x+e\$
eingeben und $f'\$ klicken, Ergebnis:
$P'(x)=4\ a\,x^{3}+3\ b\,x^{2}+2\ c\,x+d$
Dieses Ergebnis in die zweite Zeile übertragen und wieder $f'\$ klicken, das zweite Ergebnis ist dann:
$P''(x)=12\ a\,x^{2}+6\ b\,x+2\ c$

1. An der Stelle 3 (x=3) hat die Funktion den Wert 4: P(3)=4, wie wir im Punkt $(3|4)$ ablesen können
   $4=a\,3^{4}+b\,3^{3}+c\,3^{2}+d\,3+e$
2. Diese Stelle ist allerdings auch ein Wendepunkt, die 2. Ableitung ist daher $0$: $P''(3)=0$
   $0=12\ a\,3^{2}+6\ b\,3+2\ c$
3. An der Stelle 3,4 (x=3,4) hat die Funktion den Wert 5: P(3,4)=5, wie wir im Punkt $(3{,}4|5)$ ablesen können
   $5=a\,3{,}4^{4}+b\,3{,}4^{3}+c\,3{,}4^{2}+d\,3{,}4+e$
4. Diese Stelle ist allerdings auch ein Extrempunkt, die 1. Ableitung ist daher $0$: $P'(3{,}4)=0$
   $0=4\ a\,3{,}4^{3}+3\ b\,3{,}4^{2}+2\ c\,3{,}4+d$
5. An der Stelle −1(x=−1) hat die Funktion eine Lösung, also ist der Wert der Funktion y=0, P(−1)=0
   $0=a\,(-1)^{4}+b\,(-1)^{3}+c\,(-1)^{2}+d\,(-1)+e$

Wir haben somit ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 Unbekannten, das wir mit Hilfe von Geogebra lösen können:

Geogebra→CAS→löse({Gleichungen})→Ergebnis:

$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 4=a\cdot 3^{3}+b\cdot 3^{2}+c\cdot 3+d\\\circ \quad 5=a\cdot 3{,}4^{3}+b\cdot 3{,}4^{2}+c\cdot 3{,}4+d\\\circ \quad 1=a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0+d\\\circ \quad 0=3\cdot a\cdot 3{,}4^{2}+2\cdot b\cdot 3{,}4+c\end{array}}\right.\$

$\ a\approx -1{,}968\quad b\approx 13{,}0\quad c\approx -20{,}4\quad d=1\$

$\ s(x)=-x^{2}+12\ x-32\$

ist somit die gefragte Funktion