Es geht um eine Polynomfunktion 4. Grades, wir brauchen daher 5 Gleichungen.
Die allgemeine Gleichung einer Polynomfunktion 4.Grades ist:
Die entsprechende 1. Ableitung ist:
Die entsprechende 2. Ableitung ist:
Diese Ableitungen können wir mit Hilfe von Geogebra berechnen:
Geogebra→CAS→
![{\displaystyle P(x)=a\,x^{4}+b\,x^{3}+c\,x^{2}+d\,x+e\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d75a466d6412edb6a0aea2944e0580efc8dd23)
eingeben und
klicken, Ergebnis:
Dieses Ergebnis in die zweite Zeile übertragen und wieder
klicken, das zweite Ergebnis ist dann:
- An der Stelle 3 (x=3) hat die Funktion den Wert 4: P(3)=4, wie wir im Punkt
ablesen können
![{\displaystyle 4=a\,3^{4}+b\,3^{3}+c\,3^{2}+d\,3+e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f434b475f06584a9a3dca947f820a35bafbc88d2)
- Diese Stelle ist allerdings auch ein Wendepunkt, die 2. Ableitung ist daher
: ![{\displaystyle P''(3)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c2e80e40ee0be9d399b192156800a1b5c9f40e)
![{\displaystyle 0=12\ a\,3^{2}+6\ b\,3+2\ c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec553eb992e3b51c28f39765d61b9e6787f6a5a5)
- An der Stelle 3,4 (x=3,4) hat die Funktion den Wert 5: P(3,4)=5, wie wir im Punkt
ablesen können
![{\displaystyle 5=a\,3{,}4^{4}+b\,3{,}4^{3}+c\,3{,}4^{2}+d\,3{,}4+e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2304a4ab476a0e5e07142b2d0cc4f21b3ffe18)
- Diese Stelle ist allerdings auch ein Extrempunkt, die 1. Ableitung ist daher
: ![{\displaystyle P'(3{,}4)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4d19bd12fefa0e17ea3e8ac20e3c074b6a9ca8)
![{\displaystyle 0=4\ a\,3{,}4^{3}+3\ b\,3{,}4^{2}+2\ c\,3{,}4+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b9cbd18114f29436c7021e9a771d309612eaae)
- An der Stelle −1(x=−1) hat die Funktion eine Lösung, also ist der Wert der Funktion y=0, P(−1)=0
![{\displaystyle 0=a\,(-1)^{4}+b\,(-1)^{3}+c\,(-1)^{2}+d\,(-1)+e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca8f3e0a89ffd417918d751098039a3f9d89f0b)
Wir haben somit ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 Unbekannten, das wir mit Hilfe von Geogebra lösen können:
Geogebra→CAS→löse({Gleichungen})→Ergebnis:
![{\displaystyle \ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 4=a\cdot 3^{3}+b\cdot 3^{2}+c\cdot 3+d\\\circ \quad 5=a\cdot 3{,}4^{3}+b\cdot 3{,}4^{2}+c\cdot 3{,}4+d\\\circ \quad 1=a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0+d\\\circ \quad 0=3\cdot a\cdot 3{,}4^{2}+2\cdot b\cdot 3{,}4+c\end{array}}\right.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37475afaa98c3885555b1af9788e6fb466da9147)
![{\displaystyle \ a\approx -1{,}968\quad b\approx 13{,}0\quad c\approx -20{,}4\quad d=1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d082473aadac8510577207adbc2430e55e76b50)
![{\displaystyle \ s(x)=-x^{2}+12\ x-32\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab3bc245e08c4d58ccd7d8a0dd6a80a279fedd1)
ist somit die gefragte Funktion