Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Finden Sie heraus, wie viele Lösungen folgende lineare Gleichungssysteme haben. A)$\quad$ $\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|$ $\qquad$ B) $\quad$ $\left|\ {\begin{matrix}x+2y=8\\2x+4y=8\end{matrix}}\ \right|$ $\qquad$ C) $\quad$ $\left|\ {\begin{matrix}x+2y=8\\3x+6y=24\end{matrix}}\ \right|$ $\qquad$ D) $\quad$ $\left|\ {\begin{matrix}7x+3y=11\\7x-3y=-4\end{matrix}}\ \right|$

In allen Fällen müssen wir die Gleichungen
auf die explizite Form (auf y) umformen

A)

$\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\2x+4y=8\end{matrix}}\ \right|\rightarrow \left|\ {\begin{matrix}y=-x+8\\y=-{\frac {x}{2}}+2\end{matrix}}\ \right|$

Unterschiedliche Steigung (-1 und −½)

→ Lösbar mit einer Lösung

B)

$\left|\ {\begin{matrix}x+2y=8\\2x+4y=8\end{matrix}}\ \right|\rightarrow \left|\ {\begin{matrix}y=-{\frac {x}{2}}+4\\y=-{\frac {x}{2}}+2\end{matrix}}\ \right|$
Gleiche Steigung, unterschiedlicher y-Achsenabschnitt
→ keine Lösung, nicht lösbar

C)

$\left|\ {\begin{matrix}x+2y=8\\3x+6y=24\end{matrix}}\ \right|\rightarrow \left|\ {\begin{matrix}y=-{\frac {1}{2}}x+4\\y=-{\frac {1}{2}}x+4\end{matrix}}\ \right|$
Gleiche Steigung, gleicher y-Achsenabschnitt
→ unendlich viele Lösungen auf einer Gerade, lösbar

D)

$\left|\ {\begin{matrix}7x+3y=11\\7x-3y=-4\end{matrix}}\ \right|\rightarrow \left|\ {\begin{matrix}y=-{\frac {7}{3}}x+{\frac {11}{3}}\\y={\frac {7}{3}}x+{\frac {4}{3}}\end{matrix}}\ \right|$
Unterschiedliche Steigung
→ Lösbar mit einer Lösung
AUFPASSEN: Steigungen unterschiedlich
Die erste negativ, die zweite positiv!