Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Prozentrechnung Abstrakt

Geometrie

Die Seite einer Figur F ist das 1,5-fache der Seite einer ähnlichen Figur G. $\quad$A) Um wie viel Prozent ist der Umfang von F $\qquad$größer als der Umfang von G? $\quad$B) Um wie viel Prozent ist der Umfang von G $\qquad$kleiner als der Umfang von F? $\quad$C) Um wie viel Prozent ist die Fläche von F $\qquad$größer als die Fläche von G? $\quad$D) Um wie viel Prozent ist die Fläche von G $\qquad$kleiner als die Fläche von F? $\quad$E) Wie lautet die Antwort zu diesen Fragen, wenn $\qquad$die Seite von F das Doppelte der Seite von G ist?

A) Er ist 1,5-1=0,5 also 50% mehr.

B) Er ist 0,5 von 1,5 also $\textstyle \ {\frac {0{,}5}{1{,}5}}=33{,}{\dot {3}}\%\$ kleiner.

$\quad$Der Umfang von G ist daher $\ 66{,}{\dot {6}}\%\$des Umfangs von F.

C) Die Fläche von F ist das $\ 1{,}5^{2}=2{,}25$-fache der Fläche von G.

$\quad$Daher ist sie 2,25-1=1,25=125% größer. Sie ist 225% der Fläche von G.

D) Umgekehrt ist sie 1,25 in 2,25 also $\textstyle \ {\frac {1{,}25}{2{,}25}}=55{,}{\dot {5}}\%\$ kleiner.

$\quad$Die Fläche von G ist daher $\ 44{,}{\dot {4}}\%\$der Fläche von F.

E) Der Umfang von F ist 2-1=1=100% und seine Fläche 2²-1=3=300% größer.

$\quad$Der Umfang von G ist 1 von 2 also $\textstyle \ {\frac {1}{2}}=50\%\$

$\quad$und die Fläche 3 von 4 also $\textstyle \ {\frac {3}{4}}=75\%\$ kleiner.

$\quad$Die Fläche von G ist also 25% der Fläche von F.

Statistik

In den folgenden Beispielen gehen wir davon aus, dass es in der Bevölkerung so viele Männer gibt wie Frauen. $\quad$A) Der Anteil der Raucher unter der Bevölkerung ist 27,5%. $\qquad$Der Anteil der Raucher unter den Männern ist 35%. $\qquad$Wie viel ist der Anteil der Raucherinnen unter den Frauen? $\quad$B) Die Lebenserwartung der Bevölkerung ist 80 Jahre. $\qquad$Die Lebenserwartung der nicht-Raucher ist 82,4 Jahre. $\qquad$Wie viele Jahre weniger ist die Lebenserwartung der $\qquad$Rauchenden in Vergleich zu den nicht-Rauchenden Personen? $\quad$C) Wäre das Rauchen die einzige Erklärung für den Unterschied $\qquad$der Lebenserwartung zwischen den beiden Geschlechtern, wie $\qquad$viel Jahre wäre diese für Männer und für Frauen? $\quad$D) Welche Information ist noch notwendig, um den Einfluss des $\qquad$Rauchens auf den Lebenserwartungsunterschied zwischen den $\qquad$Geschlechtern genauer zu bestimmen? $\quad$E) Wenn wir letztere Information haben, was ist noch notwendig, $\qquad$um zu entscheiden, ob das Rauchen bei dieser Frage tatsächlich $\qquad$der einzige bestimmende Faktor ist? Vergleichen Sie ihre $\qquad$Ergebnisse mit tatsächlichen offiziellen Statistiken!

A) Denken wir zunächst einmal mit einer einfachen konkreten Zahl. Sagen wir mal, dass wir 1000 Personen haben. Da Männer und Frauen gleich so viel angenommen sind, wird es dann 500 Männer und 500 Frauen geben. Von den 500 Männern sind 35% Raucher, also 175 Männer. Von der ganzen Bevölkerung rauchen die 27,5% Personen, also im konkreten Beispiel 275 Personen. Da 175 davon Männer sind, werden die restlichen 100 Frauen sein. 100 von 500 Frauen, das sind 20% der Frauen, die rauchen.

Wie können wir das jetzt abstrakt schreiben?

50%(=0,5) sind Männer und 35%(=0,35) davon rauchen. Der Anteil der Raucher in der ganzen Bevölkerung ist daher:
Raucher: 0,5·0,35

Für das Gefragte schreiben wir x, das ist der Anteil der Raucherinnen unter der Frauen, die ebenfalls 50%(=0,5) der Bevölkerung sind. Daher gilt für den Anteil der Raucherinnen in der gesamten Bevölkerung:
Raucherinnen: 0,5·x

Die Summe der beiden Anteile wird der Anteil (27,5%=0,275) der gesamten rauchenden Personen in der gesamten Bevölkerung (100%=1) sein.Wir schreiben also:

$0{,}35\cdot 0{,}5+x\cdot 0{,}5=0{,}275\ \rightarrow \ x={\frac {0{,}275-0{,}175}{0{,}5}}=0{,}2=20\%\$

B) Man könnte hier sagen, der Unterschied ist 82,4-80=2,4 Jahre. Das stimmt allerdings überhaupt nicht. 80 Jahre ist ein Durchschnitt von rauchenden und nicht rauchenden Personen. Um das Gefragte zu beantworten, brauchen wir keine durchschnittliche Lebenserwartung, sondern die Lebenserwartung der rauchenden Personen. Wir arbeiten in der gleichen Weise, wie in Frage A und bekommen dadurch folgende Gleichung:

$0{,}725\cdot 82{,}4+x\cdot 0{,}275=80\ \rightarrow \ x={\frac {80-59{,}74}{0{,}275}}=73{,}6{\overline {72}}\approx 73{,}7\$Jahre.
Der Lebenserwartungsunterschied ist daher ca. 82,4-73,7=8,7 Jahre.

C) Lebenserwartung Männer: $0{,}65\cdot 82{,}4+0{,}35\cdot 73{,}7\approx 79{,}4\$Jahre.

$\quad$Lebenserwartung Frauen: $0{,}8\cdot 82{,}4+0{,}2\cdot 73{,}7\approx 80{,}7\$Jahre.

D) Die RaucherInnenquoten in der höheren Altersstufe sind dafür notwendig.

E) Wir müssen auch wissen, wie andere Krankheiten durchschnittlich für jedes Geschlecht die Lebenserwartung beeinflussen. Dafür können wir den Lebenserwartungsunterschied zwischen Männer und Frauen innerhalb der Gruppe der Nichtraucher und innerhalb der Gruppe der Raucher vergleichen. Sterben alle Raucher am gleichen Alter wie die Raucherinnen? Sterben aller Nichtraucher am gleichen Alter wie die Nichtraucherinnen? Wenn die Antwort zu beiden diesen Fragen ja ist, dann haben wir Gründen zu vermuten, dass das Rauchen der einzige Grund ist, warum Männer früher als Frauen sterben. Da es uns nicht klar ist, ob die offiziellen Daten unter freien Lizenz stehen, machen wir keinen Link dazu, ein Vergleich allerdings mit den tatsächlichen Daten, schließt nicht aus, dass tatsächlich das Rauchen für den Unterschied in der Lebenserwartung zwischen Männer und Frauen verantwortlich ist.